Cho hàm $f,g$ :$(2;4)\rightarrow (2;4)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} f(g(x))=g(f(x)) & & \\ f(x) g(x)=x^{2}& & \end{matrix}\right.$. CMR:
$f(3)=g(3)$
#2
Đã gửi 17-01-2014 - 14:12
Idie9xx
-
- Thành viên
-
- 319 Bài viết
Sĩ quan
Cho hàm $f,g$ :$(2;4)\rightarrow (2;4)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} f(g(x))=g(f(x)) & & \\ f(x) g(x)=x^{2}& & \end{matrix}\right.$. CMR:
$f(3)=g(3)$
$f(g(x))=g(f(x))\Rightarrow \dfrac{(g(x))^2}{g(g(x))}=\dfrac{(f(x))^2}{f(f(x))}\Rightarrow \dfrac{f(f(x))}{g(g(x))}=\left(\dfrac{f(x)}{g(x)} \right)^2$
Bằng qui nạp ta chứng minh được:
$\dfrac{f_{n+1}(x)}{g_{n+1}(x)}=\left(\dfrac{f_n(x)}{g_n(x)} \right)^2=...=\left(\dfrac{f(x)}{g(x)} \right)^{2^n},n\in \mathbb{N^*}$
Mà do $\dfrac{1}{2}<\dfrac{f_{n+1}(x)}{g_{n+1}(x)}<2,\dfrac{1}{2}<\dfrac{f(x)}{g(x)}<2$ nên khi cho $n\rightarrow +\infty$ thì:
- Nếu $\dfrac{f(x)}{g(x)}>1\Rightarrow \dfrac{f_{n+1}(x)}{g_{n+1}(x)}\rightarrow +\infty$ mâu thuẫn.
- Nếu $\dfrac{f(x)}{g(x)}<1\Rightarrow \dfrac{f_{n+1}(x)}{g_{n+1}(x)}\rightarrow 0$ mâu thuẫn.
- Nếu $\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$ hay $f(x)=g(x)$ thỏa mãn.
Từ đây suy ra $f(3)=g(3)$ (dpcm). 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 17-01-2014 - 14:14
- perfectstrong và buitudong1998 thích
$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
