Chủ đề này có 1 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0. CMR: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

 

 

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a, b, c không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0. CMR: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

 

Bất đẳng thức này là của Vũ Đình Quý, khi ta nhân 2 vế của bất đẳng thức này cho $(a+b)(b+c)(c+a)$ và chú ý rằng $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+bc+ca)-abc,$ ta có thể viết bất đẳng thức trên lại như sau

\[\sum \sqrt{a(a+b)(a+c)} \ge 2 \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)},\]

hay là

\[\sum \sqrt{a^3+a(ab+bc+ca)} \ge 2 \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}.\]

Chuẩn hóa cho $ab+bc+ca=1,$ bất đẳng thức trở thành

\[\sum \sqrt{a^3+a} \ge 2 \sqrt{a+b+c}.\]

Đây chính là đề thi Iran TST 2008. Có rất nhiều lời giải cho bài toán này, bạn có thể tham khảo ở đây. http://www.artofprob...p?f=52&t=206627