Chủ đề này có 4 trả lời

[datcoi961999]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\leq8$. CMR:$$ab+bc+ca+abc\leq4$$

[ttdlaq]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\leq8$. CMR:$$ab+bc+ca+abc\leq4$$

theo cauchy ta có $a^{2}+1\geq 2a$

                            $b^{2}+1\geq 2b$

                             $c^{2}+1\geq 2c$

suy ra $8abc\leq (a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\leq 8$

 nên abc$\leq$1

có ab+bc+ca+abc$\leq 4\sqrt[4]{ab.bc.ca.abc}\leq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ttdlaq: 19-01-2014 - 15:10

[datcoi961999]

theo cauchy ta có $a^{2}+1\geq 2a$

                            $b^{2}+1\geq 2b$

                             $c^{2}+1\geq 2c$

suy ra $8abc\leq (a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\leq 8$

 nên abc$\leq$8

có $ab+bc+ca+abc\leq 4\sqrt[4]{ab.bc.ca.abc}\leq 4$(chỗ này là sao đây ???)

[Phuong Thu Quoc]

$8=\prod \left ( a^{2}+1 \right )\geq \prod 2a\Rightarrow abc\leq 1$

Mặt khác $\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )=\left ( a^{2} +1\right )\left ( b^{2}c^{2}+b^{2}+c^{2}+1 \right )=\left ( a^{2}+1 \right )\left ( \left ( b+c \right ) ^{2}+\left ( ca-1 \right )^{2}\right )\geq \left ( a\left ( b+c \right )+ca-1 \right )^{2}=\left ( ab+bc+ca-1 \right )^{2}$

$\Rightarrow ab+bc+ca-1\leq 2\sqrt{2}\Rightarrow ab+bc+ca\leq 2\sqrt{2}+1$

Từ đó có $ab+bc+ca+abc\leq 2\sqrt{2}+2$

[nguyentrungphuc26041999]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\leq8$. CMR:$$ab+bc+ca+abc\leq4$$

đây nè 

dễ chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$

ta có $8=1+a^{2}+b^{2}+c^{2}+\sum a^{2}b^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}\geq \sum a^{2}b^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}+4$

$8\geq \sum a^{2}b^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}+4=\sum \left ( a^{2}b^{2}+1 \right )+a^{2}b^{2}c^{2}+1\geq 2\left ( ab+bc+ca \right )$

$\Rightarrow ab+bc+ca+abc\leq 4$