Chủ đề này có 4 trả lời

[caybutbixanh]

Đề bài :Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\geq 3\sqrt{3}.S$

----------------------

Liệu có thể mở rộng bài toán được không nhỉ ?

[Juliel]

Đề bài :Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\geq 3\sqrt{3}.S$

----------------------

Liệu có thể mở rộng bài toán được không nhỉ ?

Bài này là sự kết hợp của công thức $Leibniz$ $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\dfrac{3}{4}\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$ và BĐT $Weitzenbock$ $a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$.

[caybutbixanh]

Bài này là sự kết hợp của công thức $Leibniz$ $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\dfrac{3}{4}\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$ và BĐT $Weitzenbock$ $a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$.

Rất hay nhưng ...chưa cho phép với kiến thức của lớp 10 Cậu có cách nào khác không ?

[Juliel]

Rất hay nhưng ...chưa cho phép với kiến thức của lớp 10 Cậu có cách nào khác không ?

Tất cả đều là kiến thức lớp 10 mà bạn.

Công thức Leibniz nói cho oai chứ nó là định lí đường trung tuyến thôi.

Còn chứng minh BĐT Weitzenbok bạn xem tại đây, chứng minh hoàn toàn nằm trong chương trình THCS.

[caybutbixanh]

Đề bài :Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\geq 3\sqrt{3}.S$

----------------------

Liệu có thể mở rộng bài toán được không nhỉ ?

 

Bài này là sự kết hợp của công thức $Leibniz$ $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\dfrac{3}{4}\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$ và BĐT $Weitzenbock$ $a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$.

Mình có cách " lượng giác hóa " như thế này :

Nhắc lại hai bổ đề quen thuộc : Cho $\Delta ABC$. Khi đó :

$1,Sin^{2}A+Sin^{2}B+Sin^{2}C\geq \frac{9}{4}\\ 2,SinA.SinB.SinC\leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Và $S=\frac{abc}{4R}=2.R^{2}.SinA.SinB.SinC$

Trở lại bài toán, ta có :

$\sum m_{a}^{2}=\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3.\sqrt{3}.2R^{2}.SinA.SinB.SinC\\ \Leftrightarrow Sin^{2}A+Sin^{2}B+Sin^{2}C\geq 2\sqrt{3}.SinA.SinB.SinC$

Áp dụng hai bổ đề trên, ta được :

$Sin^{2}A+Sin^{2}B+Sin^{2}C \geq \frac{9}{4}=2\sqrt{3}.\frac{3\sqrt{3}}{8}\geq 2\sqrt{3}.SinA.SinB.SinC (dpcm)$