Chủ đề này có 1 trả lời

[TranLeQuyen]

Cho tam ABC ngoại tiếp đường tròn (J), các cạnh AB,BC,CA tiếp xúc (J) theo thứ tự tại F,D,E.

EF cắt AD tại I, cắt BC nối dài tại K. Chứng minh KJ vuông góc AD.

Hình gửi kèm

• 

[Zaraki]

 

Cho tam ABC ngoại tiếp đường tròn (J), các cạnh AB,BC,CA tiếp xúc (J) theo thứ tự tại F,D,E.

EF cắt AD tại I, cắt BC nối dài tại K. Chứng minh KJ vuông góc AD.

Lời giải.

$KJ \cap AD=H,AJ \cap EF=L$ nên $L$ là trung điểm $EF$ và $AL \perp EF$.

Áp dụng định lý Ceva và ba đường thẳng đồng quy $AD,BE,CF$ ta có $$\frac{FA}{FB} \cdot \frac{DB}{DC} \cdot \frac{EC}{EA}=1. \qquad (1)$$

Áp dụng định lý Menelaus cho ba điểm $E,F,K$ là tam giác $ABC$ ta có $$\frac{FA}{FB} \cdot \frac{KB}{KC} \cdot \frac{EC}{EA}=1. \qquad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra $\frac{DB}{DC}= \frac{KB}{KC}$.

Phép chiếu xuyên tâm $A$ biến hàng điểm $K,B,D,C$ thành hàng điểm $K,F,I,E$ thì $\frac{IF}{IE}= \frac{KF}{KE}$.

Ta có $$\begin{aligned} \frac{IF}{IE}= \frac{KF}{KE} & \Leftrightarrow IF \cdot KE= IE \cdot KF \\ & \Leftrightarrow (LE+KL) \cdot (LF-LI)= (LI+LE) \cdot (LK-LF) \\ & \Leftrightarrow 2(LE^2-LI \cdot LK)=LE(LK+LI)-LF(LK+LI)=0 \\ & \Leftrightarrow LE^2=LI \cdot LK \\ & \Leftrightarrow LE^2=LK \cdot (KL-KI) \\ & \Leftrightarrow KL \cdot KI= KL^2-LE^2 \\ & \Leftrightarrow KL \cdot KI=KF \cdot KE \end{aligned}$$

Mặt khác, ta lại có $KF \cdot KE=KD^2$ (do $(J)$ có $KD$ là tiếp tuyến, $KEF$ là cát tuyến). Do đó $KL \cdot KI= KD^2$.

Nếu $\angle AHJ>90^{\circ}$ thì $KL \cdot KI<KH \cdot KJ$ và $KH \cdot KJ<KD^2$ nên $KL \cdot KI<KD^2$, mâu thuẫn.

Nếu $\angle AHJ<90^{\circ}$ thì $KL \cdot KI>KH \cdot KJ$ và $KH \cdot KJ>KD^2$ nên $KL \cdot KI>KD^2$, mâu thuẫn.

Vậy $\angle AHJ=90^{\circ}$ hay $KJ \perp AD$. $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 21-01-2014 - 22:49