Cho tam ABC ngoại tiếp đường tròn (J), các cạnh AB,BC,CA tiếp xúc (J) theo thứ tự tại F,D,E.
EF cắt AD tại I, cắt BC nối dài tại K. Chứng minh KJ vuông góc AD.
Cho tam ABC ngoại tiếp đường tròn (J), các cạnh AB,BC,CA tiếp xúc (J) theo thứ tự tại F,D,E.
EF cắt AD tại I, cắt BC nối dài tại K. Chứng minh KJ vuông góc AD.
"Trong toán học, nghệ thuật nêu vấn đề có giá trị cao hơn việc giải quyết nó..."
Cho tam ABC ngoại tiếp đường tròn (J), các cạnh AB,BC,CA tiếp xúc (J) theo thứ tự tại F,D,E.
EF cắt AD tại I, cắt BC nối dài tại K. Chứng minh KJ vuông góc AD.
Lời giải.
$KJ \cap AD=H,AJ \cap EF=L$ nên $L$ là trung điểm $EF$ và $AL \perp EF$.
Áp dụng định lý Ceva và ba đường thẳng đồng quy $AD,BE,CF$ ta có $$\frac{FA}{FB} \cdot \frac{DB}{DC} \cdot \frac{EC}{EA}=1. \qquad (1)$$
Áp dụng định lý Menelaus cho ba điểm $E,F,K$ là tam giác $ABC$ ta có $$\frac{FA}{FB} \cdot \frac{KB}{KC} \cdot \frac{EC}{EA}=1. \qquad (2)$$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra $\frac{DB}{DC}= \frac{KB}{KC}$.
Phép chiếu xuyên tâm $A$ biến hàng điểm $K,B,D,C$ thành hàng điểm $K,F,I,E$ thì $\frac{IF}{IE}= \frac{KF}{KE}$.
Ta có $$\begin{aligned} \frac{IF}{IE}= \frac{KF}{KE} & \Leftrightarrow IF \cdot KE= IE \cdot KF \\ & \Leftrightarrow (LE+KL) \cdot (LF-LI)= (LI+LE) \cdot (LK-LF) \\ & \Leftrightarrow 2(LE^2-LI \cdot LK)=LE(LK+LI)-LF(LK+LI)=0 \\ & \Leftrightarrow LE^2=LI \cdot LK \\ & \Leftrightarrow LE^2=LK \cdot (KL-KI) \\ & \Leftrightarrow KL \cdot KI= KL^2-LE^2 \\ & \Leftrightarrow KL \cdot KI=KF \cdot KE \end{aligned}$$
Mặt khác, ta lại có $KF \cdot KE=KD^2$ (do $(J)$ có $KD$ là tiếp tuyến, $KEF$ là cát tuyến). Do đó $KL \cdot KI= KD^2$.
Nếu $\angle AHJ>90^{\circ}$ thì $KL \cdot KI<KH \cdot KJ$ và $KH \cdot KJ<KD^2$ nên $KL \cdot KI<KD^2$, mâu thuẫn.
Nếu $\angle AHJ<90^{\circ}$ thì $KL \cdot KI>KH \cdot KJ$ và $KH \cdot KJ>KD^2$ nên $KL \cdot KI>KD^2$, mâu thuẫn.
Vậy $\angle AHJ=90^{\circ}$ hay $KJ \perp AD$. $\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 21-01-2014 - 22:49
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
|
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minhBắt đầu bởi nguyenducthanh, 14-10-2022 hình 9 |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Tính bán kính của (I)Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 13-08-2021 hình 9 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh $ N,O,M $ thẳng hàngBắt đầu bởi Sin99, 09-05-2019 hình 9, thẳng hàng |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Tứ giác ABCD là hình gì?Bắt đầu bởi dangquochoi, 12-04-2019 hình học, hình 9, toán 9 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Một bài chứng minh ba điểm thẳng hàng của lớp 9 hay.Bắt đầu bởi Phamtheanh93, 08-12-2018 hình 9, chứng minh thẳng hàng |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh