Chủ đề này có 4 trả lời

[buiminhhieu]

Cho $x,y\in \mathbb{Z+}$ thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+x+1 \vdots y& \\ y^{2}+y+1\vdots x& \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:$x^{2}+y^{2}+x+y+1=5xy$

[buiminhhieu]

Cho $x,y\in \mathbb{Z+}$ thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+x+1 \vdots y& \\ y^{2}+y+1\vdots x& \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:$x^{2}+y^{2}+x+y+1=5xy$

bài này mình chỉ CM dược hệ đã cho có vô số nghiệm còn lại thì..

[hoangvipro1999]

bài này chỉ cm được A=$x^{2}+x+y^{2}+y+1\vdots 5xy$ nhưng phải bố sung đề là (x,5)=(y,5)=1

cm như sau:

$x^{2}+x+1\vdots y$

$y^{2}+y\vdots y$

$\Rightarrow$A$\vdots y$

cmttA$\vdots x$

xét đồng dư

dễ dàng cm A$\vdots 5$

vậy cần cm (x,y)=1

thật vậy ta có

Gọi (x,y)=d

$\Rightarrow x=x_{1}d,y=y_{1}d$

trong đó $(x_{1},y_{1})=1$

thay vào hệ

$\Rightarrow x_{1}^{2}d^{2}+x_{1}d+1\vdots y_{1}d$

$\Rightarrow 1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow$A$\vdots 5xy$

[buiminhhieu]

bài này chỉ cm được A=$x^{2}+x+y^{2}+y+1\vdots 5xy$ nhưng phải bố sung đề là (x,5)=(y,5)=1

cm như sau:

$x^{2}+x+1\vdots y$

$y^{2}+y\vdots y$

$\Rightarrow$A$\vdots y$

cmttA$\vdots x$

xét đồng dư

dễ dàng cm A$\vdots 5$

vậy cần cm (x,y)=1

thật vậy ta có

Gọi (x,y)=d

$\Rightarrow x=x_{1}d,y=y_{1}d$

trong đó $(x_{1},y_{1})=1$

thay vào hệ

$\Rightarrow x_{1}^{2}d^{2}+x_{1}d+1\vdots y_{1}d$

$\Rightarrow 1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow$A$\vdots 5xy$

Chứng minh thử xem

Tham khảo ở đây http://diendantoanho...14/#entry490779

[hoangvipro1999]

em không biết cm sao hết

anh chỉ giùm đi ạ