Chủ đề này có 6 trả lời

[LittleAquarius]

Câu 1: Cho hai số dương $a$ và $b$. Chứng minh rằng: $a+b\geq \frac{4ab}{1+ab}$

 

Câu 2: Chứng minh rằng: $a+4b\geq \frac{16ab}{1+4ab}$ với $a,b$ dương

 

Câu 3: Cho $2x+3y=5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 2x^{2}+3y^{2}$

 

Câu 4: Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+4\geq ab+2(a+b)$ 

[hoctrocuanewton]

áp dụng bđt cô si ta có :

câu 1:

$\frac{4ab}{ab+1}\leq 2\sqrt{ab}\leq a+b$

câu 2:

$\frac{16ab}{1+4ab}\leq 4\sqrt{ab}\leq a+4b$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 26-01-2014 - 17:49

[hoctrocuanewton]

 

 

Câu 4: Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+4\geq ab+2(a+b)$  (1)

$(1)\Leftrightarrow (a^{2}-4a+4)+(b^{2}-4b+4)+(a^{2}-2ab+b^{2})=(a-2)^{2}+(b-2)^{2}+(a-b)^{2}\geq 0$

vậy được đpcm

[hoctrocuanewton]

 

 

Câu 3: Cho $2x+3y=5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 2x^{2}+3y^{2}$

 

 

từ đk bài toán ta có

3y=5-2x

ta có

$3A=6x^{2}+9y^{2}=6x^{2}+(5-2x)^{2}=10(x^{2}-2x+1)+15\geq 15$

$\Rightarrow A\geq 5$

vậy Min A là 5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 26-01-2014 - 17:56

[Dam Uoc Mo]

Câu 4: Có $a^{2}+b^{2}+4=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}+(\frac{a^{2}}{2}+2)+(\frac{b^{2}}{2}+2)\geq ab+2a+2b=ab+2(a+b)$ (Chỗ này áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương).

[vipboycodon]

Câu 1: Cho hai số dương $a$ và $b$. Chứng minh rằng: $a+b\geq \frac{4ab}{1+ab}$

 

Câu 2: Chứng minh rằng: $a+4b\geq \frac{16ab}{1+4ab}$ với $a,b$ dương

 

Câu 3: Cho $2x+3y=5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 2x^{2}+3y^{2}$

 

Câu 4: Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+4\geq ab+2(a+b)$ 

Câu 1: Áp dụng cauchy ta có:

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$

$1+ab \ge 2\sqrt{ab}$

Nhân vế với vế ta được đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = 1$.

 

Câu 2:

$a+4b \ge 4\sqrt{ab}$

$1+4ab \ge 4\sqrt{ab}$

Nhân vế với vế ta được đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a = 1$ ,$ b = \dfrac{1}{4}$

[lahantaithe99]

Câu 1: Cho hai số dương $a$ và $b$. Chứng minh rằng: $a+b\geq \frac{4ab}{1+ab}$

 

Câu 2: Chứng minh rằng: $a+4b\geq \frac{16ab}{1+4ab}$ với $a,b$ dương

 

Câu 3: Cho $2x+3y=5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 2x^{2}+3y^{2}$

 

Câu 4: Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+4\geq ab+2(a+b)$ 

Câu 3:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

$(2x^2+3y^2)(1+\frac{3}{2})\geq (\sqrt{2}x+\frac{3}{\sqrt{2}}y)^2$

$=(\frac{2x+3y}{\sqrt{2}})^2=\frac{25}{2}$

$\Leftrightarrow 2x^2+3y^2\geq \frac{25}{2}:\frac{5}{2}=5$

Dấu = xảy ra khi $x=y=1$

Câu 4:

Áp dụng $AM-GM$

$\frac{a^2+b^2}{2}\geq ab$

$\frac{a^2}{2}+2\geq 2a$

$\frac{b^2}{2}+2\geq 2b$

Cộng theo từng vế các bđt trên ta đc đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=2$