6 replies to this topic

[l4lzTeoz]

Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng :

a, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{36}{9+x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}$

b, $\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq x+y+z$

[hoctrocuanewton]

câu a, 

ta có

$\frac{36}{\sum x^{2}y^{2}+9}\leq \frac{36}{2\sum xy+6}= \frac{18}{\sum xy+3}=\frac{18\sum xy}{(\sum xy)^{2}+3\sum xy} \leq \frac{18\sum xy}{3xyz(x+y+z)+3\sum xy} (1)$ 

 

áp dụng bđt cô si ta có

$xzy^{2}+xz\geq 2xyz$

chứng minh tương tự ta có $xyz(x+y+z)+\sum xy\geq 6xyz$ 

từ (1)(2) suy ra đpcm

Edited by hoctrocuanewton, 28-01-2014 - 10:03.

[Dam Uoc Mo]

Câub: $\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \sum \frac{x+y}{2}\Leftrightarrow \sum (x^{3}+y^{3})\geq \sum xy(x+y)$$\Leftrightarrow \sum(x-y)^{2}(x+y)\geq 0.$

BĐT cuối luôn đúng nên BĐT cần cm đúng.

Edited by Dam Uoc Mo, 28-01-2014 - 11:22.

[Rias Gremory]

Câub: $\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \sum \frac{x+y}{2}\Leftrightarrow \sum (x^{3}+y^{3})\geq \sum xy(x+y)$$\Leftrightarrow \sum(x-y)^{2}(x+y)\geq 0.$

BĐT cuối luôn đúng nên BĐT cần cm đúng.

Đoạn này bị ngược dấu rồi bạn 

[leduylinh1998]

Mình làm thế này các bạn góp ý nhé.

Giả sử:$x\geq y\geq z\Rightarrow x^{2}\geq y^{2}\geq z^{2}$

Áp dụng BĐT trê bư sép, ta có:

$2(x^{3}+y^{3})\geq (x+y)(x^{2}+y^{2})$

$\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{x+y}{2}$

Tương tự, cộng vế theo vế ta được ĐPMC

[Rias Gremory]

Mình làm thế này các bạn góp ý nhé.

Giả sử:$x\geq y\geq z\Rightarrow x^{2}\geq y^{2}\geq z^{2}$

Áp dụng BĐT trê bư sép, ta có:

$2(x^{3}+y^{3})\geq (x+y)(x^{2}+y^{2})$

$\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{x+y}{2}$

Tương tự, cộng vế theo vế ta được ĐPMC

Cái chỗ bạn phải giả sử để áp dụng BĐT Trê Bư Sép là không cần thiết. 

Ta có $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Rightarrow 2(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)(a^{2}+b^{2})$

[Dam Uoc Mo]

Cái chỗ bạn phải giả sử để áp dụng BĐT Trê Bư Sép là không cần thiết. 

Ta có $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Rightarrow 2(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)(a^{2}+b^{2})$

Cách bạn giống cách tôi thôi,ngược dấu đâu?