Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng :
a, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{36}{9+x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}$
b, $\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq x+y+z$
Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng :
a, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{36}{9+x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}$
b, $\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq x+y+z$
câu a,
ta có
$\frac{36}{\sum x^{2}y^{2}+9}\leq \frac{36}{2\sum xy+6}= \frac{18}{\sum xy+3}=\frac{18\sum xy}{(\sum xy)^{2}+3\sum xy} \leq \frac{18\sum xy}{3xyz(x+y+z)+3\sum xy} (1)$
áp dụng bđt cô si ta có
$xzy^{2}+xz\geq 2xyz$
chứng minh tương tự ta có $xyz(x+y+z)+\sum xy\geq 6xyz$
từ (1)(2) suy ra đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 28-01-2014 - 10:03
Câub: $\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \sum \frac{x+y}{2}\Leftrightarrow \sum (x^{3}+y^{3})\geq \sum xy(x+y)$$\Leftrightarrow \sum(x-y)^{2}(x+y)\geq 0.$
BĐT cuối luôn đúng nên BĐT cần cm đúng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dam Uoc Mo: 28-01-2014 - 11:22
Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.
Câub: $\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \sum \frac{x+y}{2}\Leftrightarrow \sum (x^{3}+y^{3})\geq \sum xy(x+y)$$\Leftrightarrow \sum(x-y)^{2}(x+y)\geq 0.$
BĐT cuối luôn đúng nên BĐT cần cm đúng.
Đoạn này bị ngược dấu rồi bạn
Mình làm thế này các bạn góp ý nhé.
Giả sử:$x\geq y\geq z\Rightarrow x^{2}\geq y^{2}\geq z^{2}$
Áp dụng BĐT trê bư sép, ta có:
$2(x^{3}+y^{3})\geq (x+y)(x^{2}+y^{2})$
$\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{x+y}{2}$
Tương tự, cộng vế theo vế ta được ĐPMC
Mình làm thế này các bạn góp ý nhé.
Giả sử:$x\geq y\geq z\Rightarrow x^{2}\geq y^{2}\geq z^{2}$
Áp dụng BĐT trê bư sép, ta có:
$2(x^{3}+y^{3})\geq (x+y)(x^{2}+y^{2})$
$\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{x+y}{2}$
Tương tự, cộng vế theo vế ta được ĐPMC
Cái chỗ bạn phải giả sử để áp dụng BĐT Trê Bư Sép là không cần thiết.
Ta có $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Rightarrow 2(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)(a^{2}+b^{2})$
Cái chỗ bạn phải giả sử để áp dụng BĐT Trê Bư Sép là không cần thiết.
Ta có $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Rightarrow 2(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)(a^{2}+b^{2})$
Cách bạn giống cách tôi thôi,ngược dấu đâu?
Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh