Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangtubatu955]

:Cho tam giác ABC không cân tai $A$ có $AH, AM, AP$ lần lượt là đường cao, trung tuyến và phân giác kẻ từ $A (H, P, M )$. Chứng minh rằng $PH=PM$ khi và chỉ khi $sinB.sinC=sin^2\frac{A}{2}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 30-01-2014 - 11:16

[banhgaongonngon]

:Cho tam giác ABC không cân tai $A$ có $AH, AM, AP$ lần lượt là đường cao, trung tuyến và phân giác kẻ từ $A (H, P, M )$. Chứng minh rằng $PH=PM$ khi và chỉ khi

$\sin B. \sin C= \sin^2 \frac{A}{2}$

 

Đặt $a = BC, b=CA, c=AB$

Giả sử $c < b$

$PM=BM-BP=\frac{a}{2}-\frac{ac}{b+c}=\frac{a(b-c)}{2(b+c)}$

$=\frac{R \sin A . \sin\frac{A}{2} \sin \frac{B-C}{2}}{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}=2 \sin^{2}\frac{A}{2} \tan \frac{B-C}{2}$ 

 

$HP = AH.\tan HAP = AH. \tan \frac{B-C}{2}=2R\sin B \sin C \tan \frac{B-C}{2}$

Vậy $PM = PH \Leftrightarrow \sin^{2}\frac{A}{2} = \sin B \sin C$

[Forgive Yourself]

:Cho tam giác ABC không cân tai $A$ có $AH, AM, AP$ lần lượt là đường cao, trung tuyến và phân giác kẻ từ $A (H, P, M )$. Chứng minh rằng $PH=PM$ khi và chỉ khi $sinB.sinC=sin^2\frac{A}{2}$

 

Đặt $a = BC, b=CA, c=AB$

Giả sử $c < b$

$PM=BM-BP=\frac{a}{2}-\frac{ac}{b+c}=\frac{a(b-c)}{2(b+c)}$

$=\frac{R \sin A . \sin\frac{A}{2} \sin \frac{B-C}{2}}{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}=2 \sin^{2}\frac{A}{2} \tan \frac{B-C}{2}$ 

 

$HP = AH.\tan HAP = AH. \tan \frac{B-C}{2}=2R\sin B \sin C \tan \frac{B-C}{2}$

Vậy $PM = PH \Leftrightarrow \sin^{2}\frac{A}{2} = \sin B \sin C$

 

Liệu còn cách nào khác đơn giản hơn không???

[Forgive Yourself]

:Cho tam giác ABC không cân tai $A$ có $AH, AM, AP$ lần lượt là đường cao, trung tuyến và phân giác kẻ từ $A (H, P, M )$. Chứng minh rằng $PH=PM$ khi và chỉ khi $sinB.sinC=sin^2\frac{A}{2}$

 

Không mất tính tổng quát giả sử $AC>AB$

 

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

 

Kéo dài $AP$ cắt ($O$) tại $A'$. Khi đó $O,M,A'$ thẳng hàng

 

Ta có $\left\{\begin{matrix} \frac{sin\frac{A}{2}}{PB}=\frac{sinB}{PA}\\ \frac{sin\frac{A}{2}}{PC}=\frac{sinC}{PA} \end{matrix}\right.$

 

Do đó:

 

$$sinB.sinC=sin^2\frac{A}{2}\Leftrightarrow PA^2=PB.PC\Leftrightarrow PA^2=PA.PA'\Leftrightarrow PA=PA'\Leftrightarrow PH=PM$$