Chủ đề này có 1 trả lời

[LNH]

Tìm các bộ số nguyên dương $\left ( m,p,q \right )$ sao cho $p,q$ là số nguyên tố và:

$2^mp^2+1=q^5$

[bangbang1412]

Tìm các bộ số nguyên dương $\left ( m,p,q \right )$ sao cho $p,q$ là số nguyên tố và:

$2^mp^2+1=q^5$

Do $p,q$ là các số nguyên tố , ta đưa phương trình về

                                             $2^{m}.p^{2}=q^{5}-1=(q-1).\frac{q^{5}-1}{q-1}$

Đặt $q-1=p^{a}.2^{b}$ trong đó $a,b$ không âm và $a\leq 2,b\leq m$

Như vậy sẽ thu được $\frac{q^{5}-1}{q-1}=p^{2-a}.2^{m-b}$

Nếu $q=2$ thì dễ dàng tìm được nghiệm

Nếu $q$ lẻ thì $p^{a}.2^{b}$ chẵn và $p^{2-a}.2^{m-b}$ lẻ

Hiển nhiên ta có $m=b$ vì nếu $m>b$ thì $p^{2-a}.2^{m-b}$ chẵn

Nên $q-1=p^{a}.2^{m}$ và $q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1=p^{2-a}>5$ nên $2>a$

Nếu $a>0$ thì $a=1$ nên $q\equiv 1(modp)$ nên $q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1\equiv 5(modp)$ nên $5\equiv 0(modp)$ và do đó $p=5$ dễ dàng kiểm tra nghiệm tiếp .

Nếu $a=0$ thì $q=2^{m}+1$ và $q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1=p^{2}$(phương trình này quen thuộc )