Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoang Tung 126]

Bài toán: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và điểm P bất kì nằm trong tam giác .Vẽ trung trực của AB,AC cắt AP tại E,F. Qua E kẻ đường thẳng song song AB và cắt tiếp tuyến tại Bcủa $(O)$ ở M. Qua F kẻ đường thẳng song song AC cắt tiếp tuyến tại C của $(O)$ ở N. Vẽ đường tròn ngoại tiếp 2 tam giác ABM và ACN .Gỉa sử MN giao $(ABM)$ tại P,giao $(ACN)$ tại Q. 

         CMR :PB và CQ giao nhau tại một điểm nằm trên đường tròn $(O)$

[nguyenthehoan]

Bài toán: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và điểm P bất kì nằm trong tam giác .Vẽ trung trực của AB,AC cắt AP tại E,F. Qua E kẻ đường thẳng song song AB và cắt tiếp tuyến tại Bcủa $(O)$ ở M. Qua F kẻ đường thẳng song song AC cắt tiếp tuyến tại C của $(O)$ ở N. Vẽ đường tròn ngoại tiếp 2 tam giác ABM và ACN .Gỉa sử MN giao $(ABM)$ tại P,giao $(ACN)$ tại Q. 

         CMR :PB và CQ giao nhau tại một điểm nằm trên đường tròn $(O)$

Bài toán phải sửa lại thành $MN$ giao $(ABM)$ tại $Q$ và $(ACN)$ tại $P$ (như hình vẽ)

Chứng minh.

Ta nhận thấy rằng, để chứng minh $PB, CQ$ cắt nhau trên $(O)$, ta cần chứng minh hai tam giác 

$ABP$ và $ACQ$ đồng dạng.

Ta có $\angle ABM=\angle ABC+\angle MBC=\angle ABC+\angle BAC$

Mà tứ giác $ABMQ$ nội tiếp nên từ trên ta có $\angle AQP=\angle ACB$

Chứng minh tương tự ta có $\angle APQ=\angle ABC$. Do đó $\Delta APQ\sim \Delta ABC$

$\Rightarrow \angle BAP=\angle CAQ$ và $\frac{AP}{AQ}=\frac{AB}{AC}$.

Từ đó ta có $\Delta BAP\sim \Delta CAQ$

Suy ra $\angle ABP=\angle ACQ$. Từ đó ta có ngay $BP,CQ$ cắt nhau trên $(O)$.

Bài toán được chứng minh.

=================================================

P/s. Làm xong mới thấy bài này cho giả thiết về $E,F$ không hiểu để làm gì. Chỉ cần $M,N$ trên các tiếp tuyến tại $B,C$ là đủ.