Bài1: Trong một thư viện trên giá sách có $n$ tập sách tra cứu tiếng Anh. Một người máy làm công việc như sau: chọn một tập bất kỳ, mà nó không ở đúng vị trí và đặt nó vào đúng vị trí ( nghĩa là nếu số tập là k thì người máy sẽ đặt tập này vào vị trí $k$ trên giá sách). Chứng minh rằng sau một thời gian tất cả các tập sách sẽ được sắp đúng vị trí.
Bài 2: Tại một hội nghị có mời $2n$ người, mỗi người đều có nhiều nhất là $n-1$ người không quen với mình. Chứng minh rằng có thể xếp các người này vào một bàn tròn sao cho không ai ngồi cạnh người mình không quen.
Bài 3: Trên một mặt phẳng chia lưới vô hạn ô vuông, một số ô vuông được tô đen. Một ô vuông trong lưới được tô màu theo nguyên tắc sau đây: Mỗi ô vuông trong lưới được tô đen khi và chỉ khi ít nhất có $3$ ô vuông bên cạnh nó là đen trong bước tô trước đó và trường hợp khác thì tô trắng. Quy trình này được lặp lại. Chứng minh rằng cuối cùng không còn một ô đen nào trên lưới ô vuông.
Bài 4: Tại mỗi đỉnh của một ngũ giác người ta gán một số nguyên sao cho tổng của năm số là dương. Nếu ba đỉnh liên tiếp được gán các số $x,y,z$ với $y<0$, thì thao tác sau đây được thực hiện: những số $x, y, z$ được thay bởi $x + y,- y, z + y$ tương ứng. Thao tác như vậy được lặp lại tới khi ít nhất một trong năm số là số âm. Hãy xác định có một quy trình cần thiết để kết thúc trong hữu hạn bước được không?
Bài 5: Trong một bảng ô vuông có $100 \times100$ ô được điền dấu "+". Mỗi bước thực hiện bằng cách đổi toàn bộ những dấu ở một hàng hoặc một cột nào đó sang dấu ngược lại. Có khả năng sau hữu hạn bước như trên, bảng ô vuông nhận được sẽ có đúng $1970$ dấu "-"?
Bài 6: Tại đỉnh $A_1$ của một đa giác đều $12$ đỉnh đánh dấu $(-)$, còn tất cả đánh dấu $(+)$. Một bước thực hiện là đổi đồng thời $3$ dấu tại $3$ đỉnh liên tiếp thành dấu ngược lại. Chứng minh rằng không có khả năng sau một số hữu hạn bước thực hiện như trên sẽ nhận được $A_2$ có dấu $(-)$, còn tất cả các đỉnh còn lại mang dấu $(+)$.
Bài 7: Cho một bảng ô vuông $10 \times 10$, trong mỗi ô ta ghi theo thứ tự một số tự nhiên gồm các số từ $1$ đến $100$: hàng thứ nhất ghi từ $1$ đến $10$, hàng thứ $2$ ghi từ $11$ đến $20$,...Chứng minh rằng tổng $S$ của $10$ số bất kỳ của bảng, trong đó không có bất kỳ hai số nào thuộc cùng một hàng và không có hai số bất kỳ nào thuộc cùng một cột là một số không đổi. Tìm số $S$.
Bài 8: Tất cả các số nguyên từ $1$ đến $2n$ được viết thành một hàng. Ta thực hiện với mỗi số cộng vào với vị trí của số đó. Chứng minh rằng trong những tổng nhận được bằng cách trên có hai số chia cho $2n$ có cùng số dư.
Bài 9: Trên mặt phẳng cho $N$ điểm, từ chúng có thể nối với nhau thành những đoạn thẳng. Biết rằng từ một điểm bất kỳ không xuất phát quá từ $11$ đoạn thẳng. Chứng minh rằng những điểm này có thể tô bằng $4$ màu sao cho những đoạn thẳng có hai đầu mút cùng màu không lớn hơn $N$.
File gửi kèm
-
suy luan.doc 32K
631 Số lần tải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 31-01-2014 - 13:45
Theo yêu cầu của thành viên
