Bài 1:
1.1) Cho $a>0$, $b>0$ và $a^{3}+b^{3}=a-b$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}<1$
1.2) Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P = \sqrt{-x^{2}+3x+18} - \sqrt{-x^{2}+4x+5}$
Bài 2: Tính giá trị biểu thức: $P = \frac{\sqrt[2014]{4}}{\sqrt[2014]{4}+2} + \frac{\sqrt[2014]{4^{2}}}{\sqrt[2014]{4^{2}}+2} + \frac{\sqrt[2014]{4^{3}}}{\sqrt[2014]{4^{3}}+2} + ... + \frac{\sqrt[2014]{4^{2013}}}{\sqrt[2014]{4^{2013}}+2}$
Bài 3: Cho $x, y, z$ là các số nguyên đôi một khác nhau.
Với các đa thức sau: $P=(x-y)^{5}+(y-z)^{5}+(z-x)^{5}$ và $Q=5(x-y)(y-z)(z-x)$
Chứng minh rằng: $P$ chia hết cho $Q$ (trên tập hợp số nguyên).
Bài 4: Trên hai cạnh $AB, AC$ của tam giác $ABC$ tương ứng có các điểm $M, N$ thỏa mãn $CM = CA, BN = BA$ với $M, N$ khác các đỉnh của tam giác. $P$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $BC$. Chứng minh rằng $PA$ là phân giác góc $MPN$.
Bài 5: Hình chữ nhật kích thước $3$x$4$ được chia bởi các đường thẳng song song với các cạnh thành $12$ hình vuông đơn vị. Chứng minh rằng với $7$ điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật, luôn có thể chọn ra $2$ điểm có khoảng cách không vượt quá $\sqrt{5}$. Chứng minh kết luận của bài toán vẫn đúng khi số điểm là $6$ và không còn đúng khi số điểm là $5$.
