Chủ đề này có 1 trả lời

[phuonglien99]

                 $Cho$:  $x,y,z> 0$

 

                                               Tìm min: $A= \sum \frac{x^{4}}{4}+\sum \frac{x}{yz}$

[lahantaithe99]

                 $Cho$:  $x,y,z> 0$

 

                                               Tìm min: $A= \sum \frac{x^{4}}{4}+\sum \frac{x}{yz}$

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có

$\sum \frac{x}{yz}=\sum\frac{x^2}{xyz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{3xyz}$

Mà theo $AM-GM$ có $3xyz\leq 3.\frac{(x+y+z)^3}{27}=\frac{(x+y+z)^3}{9}$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{yz}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Áp dụng tương tự như trên có

$\sum \frac{x^4}{4}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{12}\geq \frac{(x+y+z)^4}{108}$

Do đó $A\geq \frac{(x+y+z)^4}{108}+\frac{9}{x+y+z}$

$=\frac{(x+y+z)^4}{108}+\frac{9}{4(x+y+z)}+\frac{9}{4(x+y+z)}+\frac{9}{4(x+y+z)}+\frac{9}{4(x+y+z)}$

$\geq 5.\sqrt[5]{\frac{9^4}{108.4^4}}=\frac{15}{4}$ (áp dụng $AM-GM$)

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$