Chủ đề này có 9 trả lời

[lethanhson2703]

1.Cho $a,b,c> 0$. CMR $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+cb+c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

2. Cho $a,b,c> 0$ CMR $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\leq \frac{a+b+c}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhson2703: 05-02-2014 - 08:44

[Kaito Kuroba]

1.

 để ýta có:

$\sum \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=0$

 

$\Rightarrow 2.VT=\sum \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}\sum (a+b)=\frac{2(a+b+c)}{3}$

=> đpcm.

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$

[Kaito Kuroba]

2.

ta có:$\sum \frac{ab}{a+b}\leq \sum \frac{\left ( \frac{a+b}{2} \right )^2}{a+b}=\sum \frac{a+b}{4}=\frac{a+b+c}{2}$

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 05-02-2014 - 09:01

[hoangmanhquan]

1.Cho $a,b,c> 0$. CMR $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+cb+c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

 

Ở bài tập này, ta sử dụng phương pháp cộng thêm một biểu thức nào đó rồi sử dụng các bất đẳng thức đơn giản, thường gặp

Một bài tập tương tự sử dụng phương pháp trên:http://diendantoanho...cabc5/?p=476961

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 05-02-2014 - 09:04

[hoangmanhquan]

 

2. Cho $a,b,c> 0$ CMR $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\leq \frac{a+b+c}{2}$

Ta có:

$\sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{ab}{2\sqrt{ab}}=\sum \frac{\sqrt{ab}}{2}\leq \frac{a+b+c}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 05-02-2014 - 09:08

[Hoang Tung 126]

1.Cho $a,b,c> 0$. CMR $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+cb+c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

2. Cho $a,b,c> 0$ CMR $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\leq \frac{a+b+c}{2}$

Bài 1:Ta có:$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{2a-b}{3}=\frac{\sum a}{3}$

Bài 2:Theo AM-GM có:$\sum \frac{ab}{a+b}\leq \sum \frac{a+b}{4}=\frac{\sum a}{2}$

[lethanhson2703]

Bài 1:Ta có:$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{2a-b}{3}=\frac{\sum a}{3}$

Bạn giải thích cho mình bước đầu tiên nha. Sao lớn hơn hoặc bằng đc

[Hoang Tung 126]

Bạn giải thích cho mình bước đầu tiên nha. Sao lớn hơn hoặc bằng đc

Vì nó tương đương với $(a-b)^2\geq 0$

[Cao thu]

Nên viết rõ ra như thế này:

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geqslant\frac{2a-b}{3} \Leftrightarrow 3a^{3}\leqslant (2a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}\geqslant a^{2}b+b^{2}a$ (luôn đúng)

[hoctrocuanewton]

1.Cho $a,b,c> 0$. CMR $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+cb+c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

 

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}= \sum \frac{a^{4}}{a^{3}+ab(a+b)}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{3}+\sum ab(a+b)}= \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)}= \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}\geq \frac{a+b+c}{3}$