Chủ đề này có 1 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho $(O;R).$ $M$ cố định nằm ngoài $(O).$ Cát tuyến $MAB.$ Tiếp tuyến tại $A,B$ cắt nhau tại $C.$ Tứ giác $OACB$ nội tiếp $(K).$ $H$ là giao của $OM$ và $(K);$ $N$ là giao của $CH$ và $AB.$ $I$ là trung điểm $AB.$ 

Chứng minh: $H$ cố định và $IM.IN=IA^2.$

[DarkBlood]

 

Cho $(O;R).$ $M$ cố định nằm ngoài $(O).$ Cát tuyến $MAB.$ Tiếp tuyến tại $A,B$ cắt nhau tại $C.$ Tứ giác $OACB$ nội tiếp $(K).$ $H$ là giao của $OM$ và $(K);$ $N$ là giao của $CH$ và $AB.$ $I$ là trung điểm $AB.$ 

Chứng minh: $H$ cố định và $IM.IN=IA^2.$

 

Tứ giác $ABOH$ nội tiếp nên $MH.MO=MA.MB=(MI-AI)(MI+BI)=MI^2-AI^2=OM^2-OI^2-OA^2+OI^2=OM^2-OA^2$

Vì $OM, OA$ không đổi nên $MH$ không đổi, mà $M$ cố định nên $H$ cố định.

 

Từ giác $OHNI$ nội tiếp nên $MH.MO=MN.MI$

Mà $MH.MO=MI^2-AI^2$ nên $MN.MI=MI^2-AI^2$

$\Leftrightarrow AI^2=MI(MI-MN)=IM.IN$