Chủ đề này có 2 trả lời

[LukaTTK]

Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1.Chứng minh

$\sum \frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}$ $\leq \frac{7}{2}$

[Hoang Tung 126]

Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1.Chứng minh

$\sum \frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}$ $\leq \frac{7}{2}$

Đặt $x^2+1=a,y^2+1=b,z^2+1=c$.Do $x+y+z=1,x,y,z\geq 0= > 0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1,0\leq z \leq1 = > 1 \leq x^2+1\leq 2,1\leq y^2+1\leq 2,1\leq z^2+1\leq 2= > 1\leq a\leq 2,1\leq b\leq 2,1\leq c\leq 2$

Giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có:$P=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{7}{2}< = > 2a^2c+2b^2a+2c^2b\leq 7abc< = > 2cb(c-a)+(2a^2c+2b^2a-5abc)\leq 0$

Mà $a\geq b\geq c= > 2cb(c-a)\leq 0$.Do đó ta cần CM:$2a^2c+2b^2a\leq 5abc< = > 2ac+2b^2\leq 5bc$(luôn đúng)

[Cao thu]

Sai rồi. Dấu bằng xảy ra khi $\left ( a,b,c \right )\in \left ( 0;0;1 \right )$ và các hoán vị mà.Đây là 1 BĐT đánh lừa dấu bằng.

Giải thế này:

$\sum \frac{x^{2}+1}{y^2+1}=\sum x^2+3-\sum \frac{x^2y^2+y^2}{y^2+1} \leq \sum x^2+3-\sum \frac{y^2(x^2+1)}{2}\leq \frac {\sum x^2-\sum x^2y^2}{2}+3\leq \frac{(x+y+z)^2- \sum 2xy-\sum x^2y^2}{2}+3 \leq \frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}$