2 replies to this topic

[hoangmanhquan]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.CMR:

$\sum \frac{a}{b}\geq\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{a+b}$

[nguyentrungphuc26041999]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.CMR:

$\sum \frac{a}{b}\geq\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{a+b}$

em nghĩ không cần đến cái giả thiết đó đâu,

chuyển vế biến đổi tương đương ta được

$\frac{c\left ( a-b \right )}{b\left ( b+c \right )}+\frac{a\left ( b-c \right )}{c\left ( c+a \right )}+\frac{b\left ( c-a \right )}{a\left ( b+a \right )}\geq 0$

giả sử $b$ là số nằm giữa 2 số a$a$ và $b$ 

$\Rightarrow \left ( b-a \right )\left ( b-c \right )\leq 0$

để khỏi viết lại vì cái này dài quá,biến đổi

$b\left ( c-a \right )= -c\left ( a-b \right )-a\left ( b-c \right )$

bất đẳng thức tương đương

$a\left ( a-b \right )\left ( \frac{1}{b\left ( b+c \right )-\frac{1}{a\left ( a+b \right )} \right )+a\left ( b-c \right )\left ( \frac{1}{c\left ( c+a \right )}-\frac{1}{a\left ( a+b \right )} \right ) \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{c\left [ \left ( a-b \right )^{2}\left ( a+b \right )+b\left ( a-b \right )\left ( a-c \right ) \right ]}{ab\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )}+\frac{\left ( b-c \right )\left ( a-c \right )\left ( a+c \right )+a\left ( b-c \right )^{2}}{c\left ( a+c \right )\left ( a+b \right )}\geq 0$

bất đẳng thức cuối đúng do $b$ nằm giữa $a$ và $c$

Edited by nguyentrungphuc26041999, 15-02-2014 - 21:21.

[nguyentrungphuc26041999]

gõ nhầm latex,fix rồi

sao display nhỉ

bài này em làm rồi nên biến đổi ngây ngây 1 hồi thôi,sai thì thôi

fix đi fix lại 3,4 lần mà vẫn display,ai giúp em với

Edited by nguyentrungphuc26041999, 15-02-2014 - 21:16.