5 replies to this topic

[BoY LAnH LuNg]

BT1: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn Đ/K:  2x+y+3z=6 và 3x+4y-3z=4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x + 3y – 4z.

BT2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x²+y² khi x²+y²-xy=4

BT3: Cho ba số d­uong a, b, c có tổng là một hằng số. Tìm a, b, c sao cho: ab + bc + ca lớn nhất.

BT4: Cho các số thực không âm a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ có tổng bằng 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  A = a₁a₂ + a₂a₃ + a₃a₄ + a₄a₅

BT5: Cho x, y t/m x² + y² =1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x⁶ + y⁶

Edited by BoY LAnH LuNg, 16-02-2014 - 15:53.

[toanhocvidai]

Từ x² + y² – xy = 4 <=> 2x² + 2y² – 2xy = 8

                               <=> A + (x – y)² = 8

                                    <=> Max A = 8 khi x = y

Mặt khác:       2x² + 2y² = 8 + 2xy

                <=> 3A = 8 + (x + y)² >=8

                =>  A >=8/3 min A = 8/3 khi x = - y  

[angleofdarkness]

BT3: Cho ba số d­uong a, b, c có tổng là một hằng số. Tìm a, b, c sao cho: ab + bc + ca lớn nhất.

 

 

Ta có $a^2+b^2 \geq 2.\sqrt{a^2b^2}=2ab \Rightarrow \sum a^2 \geq \sum ab$

 

$\Rightarrow \sum a^2 + 2.\sum ab \geq \sum ab + 2.\sum ab \Rightarrow (a+b+c)^2 \geq 3.\sum ab$

 

Do a, b, c có  tổng không đổi nên có Max $\sum ab=\frac{(a+b+c)^2}{3}$ không đổi.

 

Dấu = khi a = b = c.

[angleofdarkness]

BT1: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn Đ/K:  2x+y+3z=6và 3x+4y-3z=4 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x + 3y - 4z 

 

 

Ta có 2x + y + 3z = 6 (1); 3x + 4y - 3z = 4 (2) $\Rightarrow 2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4$

 

$\Rightarrow 5x+5y=10 \Rightarrow x+y=2 \Rightarrow y=2-x.$

 

Từ (1) $\Rightarrow 2x+2-x+3z=6 \Rightarrow  3z=4-x \Rightarrow  z=\frac{4}{3}-\frac{z}{3}$

 

Thay vào P ta được $P=2x+3(2-x)-4(\frac{4}{3}-\frac{z}{3})=\frac{x}{3}+\frac{2}{3} \geq \frac{2}{3}$

Edited by angleofdarkness, 23-02-2014 - 21:52.

[angleofdarkness]

BT4: Cho các số thực không âm a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ có tổng bằng 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  A = a₁a₂ + a₂a₃ + a₃a₄ + a₄a₅

 

 

Có $A=a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_5 \\ \leq a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_5+a_2a_5+a_1a_4 \\ =a_4(a_1+a_3+a_5)+a_2(a_1+a_3+a_5) \\ =(a_2+a_4)(a_1+a_3+a_5) \\ \leq (\frac{a_1+a_3+a_5+a_2+a_4}{2})^2=\frac{1}{4}$

Edited by angleofdarkness, 23-02-2014 - 22:01.

[angleofdarkness]

BT5: Cho x, y t/m x² + y² =1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x⁶ + y⁶

 

Biến đổi $M=x^6+y^6=(x^2+y^2)^3-3x^2y^2(x^2+y^2)=1-3x^2y^2$

 

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm $x^2$ và $y^2$ thì $x^2y^2 \leq (\frac{x^2+y^2}{2})^2=\frac{1}{4}$

 

$\Rightarrow M \geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

 

$\Rightarrow$ Min M $=\frac{3}{4}$ khi $x^2=y^2=\frac{1}{2}$

 

Mặt khác $3x^2y^2 \geq 0$ nên có $M \leq 1-0=1$

 

$\Rightarrow$ Max M = 1 khi $x^2=0;y^2$ hoặc ngược lại.