Chủ đề này có 1 trả lời

[luantran1997]

Tồn tại hay không số n có dạng $n= p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} .... p_{2000}^{a_{n}} $ .  thỏa    $p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} .... p_{2000}^{a_{n}} \mid  2^{p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} .... p_{2000}^{a_{n}}} +1  $ trong đó p_k là các số nguyên tố, a_k bất kì.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 16-02-2014 - 23:56

[nguyenthehoan]

Tồn tại hay không số n có dạng $n= p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} .... p_{2000}^{a_{n}} $ .  thỏa    $p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} .... p_{2000}^{a_{n}} \mid  2^{p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} .... p_{2000}^{a_{n}}} +1  $ trong đó p_k là các số nguyên tố, a_k bất kì.

Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp rằng với mọi $k \in {N}$ tồn tại một số nguyên dương $n$ có đúng $k$ ước nguyên dương phân biệt và thỏa mãm điều kiện $n| 2^{n}+1$

Thật vậy, với $k=1$, hiển nhiên ta có $n=3$ thỏa mãn.

Giả sử với $k$ ta đã chọn được số $n_k=3^{a}.b$, trong đó $b$ có đúng $k-1$ ước nguyên tố.

Với $k+1$, ta sẽ chọn $n_{k+1}=3^{a+1}.b.p=3n_k.p$ với $p$ là số nguyên tố không chia hết $b$.

Ta cần chứng minh tồn tại một số nguyên tố $p$ thỏa mãn

$p$ là ước của $2^{3n_k}+1$ nhưng không là ước của $2^{n_k}+1$.

Hay ta sẽ chứng minh, với $a \in N, a=2^{n_k}$ thì tồn tại số nguyên tố $p$ là ước của $a^{3}+1$ nhưng không là ước của $a+1$.

Thật vậy, $a^{3}+1=(a+1)(a^{2}-a+1$ Gọi $d=(a^{2}-a+1,a+1)\Rightarrow d|3a\Rightarrow d=(3,a+1)$

Ta có $3|a+1$ nên $a^{2}-a+1$ không chia hết cho $9$, chọn $p$ là ước nguyên tố bất kì của 

$\frac{a^{2}-a+1}{3}$, ta có điề phải chứng minh.

Vậy ta tìm được $n$ có $k+1$ ước nguyên tố thỏa mãn đề bài.

Vậy bài toán được chứng minh. Với $k=2000$ ta có bài toán trên.