Cho hai số dương a,b thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=1$. Tìm GTLN của $P=b(a+b)$
Tìm GTLN của $P=b(a+b)$
#1
Đã gửi 16-02-2014 - 21:56
#2
Đã gửi 17-02-2014 - 19:27
hình như là 5/4 hay sao ấy ?
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -
#3
Đã gửi 17-02-2014 - 22:15
Cho hai số dương a,b thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=1$. Tìm GTLN của $P=b(a+b)$
Ta có: $(\sqrt{2}+1)P=(\sqrt{2}+1)ab+(\sqrt{2}+1)b^{2}\leq \frac{(\sqrt{2}+1)^{2}a^{2}+b^2}{2}+(\sqrt{2}+1)b^{2}=(\frac{3}{2}+\sqrt{2})(a^{2}+b^{2})=\frac{3}{2}+\sqrt{2}\Leftrightarrow P\leq \frac{\sqrt{2}+1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 17-02-2014 - 22:16
- RoyalMadrid, NguyenKieuLinh, dinhminhha và 1 người khác yêu thích
Issac Newton
#4
Đã gửi 18-02-2014 - 12:16
Ta có: $(\sqrt{2}+1)P=(\sqrt{2}+1)ab+(\sqrt{2}+1)b^{2}\leq \frac{(\sqrt{2}+1)^{2}a^{2}+b^2}{2}+(\sqrt{2}+1)b^{2}=(\frac{3}{2}+\sqrt{2})(a^{2}+b^{2})=\frac{3}{2}+\sqrt{2}\Leftrightarrow P\leq \frac{\sqrt{2}+1}{2}$
Bạn có thế ns rõ cách suy nghĩ để tìm ra hướng giải đk k? Vd như tại sao lại phải nhân thêm vào???
#5
Đã gửi 18-02-2014 - 12:58
Nháp : Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a = kb\\a^{2} + b^{2} = 1 \end{matrix}\right.$ (k > 0)
Áp dụng : $a^{2} + k^{2}b^{2} \geq 2kab$
$\Rightarrow 1 = a^{2} + b^{2} \geq 2kab + (1 - k^{2})b^{2}$
Tìm k để $2k = 1 - k^{2}$ $\Rightarrow k^{2} + 2k + 1 = 2$ $\Rightarrow k = \sqrt{2} - 1$ (k > 0)
Làm : $a^{2} + (3 - 2\sqrt{2})b^{2} \geq 2(\sqrt{2} - 1)ab$
$\Rightarrow 1 = a^{2} + b^{2} \geq 2(\sqrt{2} - 1)ab + (2\sqrt{2} - 2)b^{2}$ = $2(\sqrt{2} - 1)(ab + b^{2})$
$\Rightarrow P \leq \frac{1}{2(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} a = (\sqrt{2} - 1)b\\a^{2} + b^{2} = 1 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{b^{2}}{1} = \frac{a^{2} + b^{2}}{3 - 2\sqrt{2} + 1} = \frac{1}{4 - 2\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}\\ b = \frac{1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \end{matrix}\right.$ (vì a, b > 0)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 18-02-2014 - 13:00
- RoyalMadrid và Trang Luong thích
Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)
Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh