Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$
Chứng minh rằng $\sum \frac{a^3+1}{\sqrt{a(a^3+b^2c+bc^2)}}\geqslant 2\sqrt{ab+bc+ca}$
$\sum \frac{a^3+1}{\sqrt{a(a^3+b^2c+bc^2)}}\geqslant 2\sqrt{ab+bc+ca}$ với $abc=1$
Bắt đầu bởi 25 minutes, 19-02-2014 - 21:16
-
Chủ đề bị khóa
#2
Đã gửi 22-02-2014 - 12:24
Kaito Kuroba
-
- Thành viên
-
- 656 Bài viết
Thiếu úy
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$
Chứng minh rằng $\sum \frac{a^3+1}{\sqrt{a(a^3+b^2c+bc^2)}}\geqslant 2\sqrt{ab+bc+ca}$
vì $abc=1$ nên bất đẳng thức cần chưng minh tương đương:
$\sum \frac{a^3+1}{\sqrt{a^4+b+c}}\geq 2\sqrt{ab+bc+ca}$
Ta có $$\sqrt{(a^4 + b + c)(ab + bc + ca)} = \sqrt{(a^4 + abc(b + c))(ab + bc + ca)} = \sqrt{(a^3 + b^2c + bc^2)(a^2b + abc + a^2b)} $$ $$\le \dfrac{(a^3 + a^2b + a^2c) + (abc + bc(b +c))}{2} = \dfrac{(a + b + c)(bc + a^2)}{2} = \dfrac{(a+b+c)(a^3 + 1)}{2a}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{a^3 + 1}{\sqrt{a^4 + b + c}} \ge \dfrac{2a\sqrt{ab + bc + ca}}{a+b+c}$$
từ đây được $$VT \ge \dfrac{2\sqrt{ab+bc+ca}(a +b + c)}{a + b + c} = 2\sqrt{ab + bc + ca}$$
$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 22-02-2014 - 12:32
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
