446 replies to this topic

[Viet Hoang 99]

Chú ý: Có một số phương pháp giải phương trình vô tỉ mình đăng ở phía sau:

+PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT 

(#83 ở trang 5 của TOPIC)

 

+CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

(#87 ở trang 5 của TOPIC)

 

+Chuyên đề: Hệ phương trình 
(#137 ở trang 7 của TOPIC)

 

+Phương pháp UCT giải hệ phương trình

(#333 ở trang 17 của TOPIC)

I. Chuyên đề : Phương trình vô tỉ 

1) Định nghĩa:
- Phương trình vô tỉ là phương trình chứa biến ở trong căn.
2) Những điều cần lưu ý khi giải phương trình vô tỉ:

• Phải chú ý đến điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình vô tỉ.
• Phải thành thạo các phép biến đổi đồng nhất.
• Nắm vững các tính chất của tam thức.
• Sử dụng thành thạo các bất đẳng thức (BĐT) quan trọng.

3) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ thường gặp:
3.1) Phương pháp dùng định nghĩa:

• $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\begin{bmatrix}f(x)\geq 0 & & \\ g(x)\geq 0 & & \end{bmatrix} & & \\ f(x)=g(x) & & \end{matrix}\right.$
• $\sqrt[2k+1]{f(x)}=\sqrt[2k+1]{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)$
• $\sqrt[2k]{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}g(x)\geq 0 & & \\ f(x)=g^{2k}(x) & & \end{matrix}\right.$
• $\sqrt[2k+1]{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow f(x)=g^{2k+1}(x)$

3.2) Đưa phương trình vô tỉ về dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Vd1: Giải pt: $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2$ (*)
ĐKXĐ: $x\geq 1$
PT (*) $\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=2$
$\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+|\sqrt{x-1}-1|=1$ (Do $\sqrt{x-1}+1>0$) (1)
$\cdot$ Nếu $\sqrt{x-1}-1\geq 0\Rightarrow x\geq 2$
(1) $\Leftrightarrow 2\sqrt{x-1}=2\Leftrightarrow x=2$ (thỏa)
$\cdot$ Nếu $\sqrt{x-1}-1<0 \Rightarrow x<2$
(1) $\Leftrightarrow 2=2$
$\Rightarrow$ Pt có vô số nghiệm $x<2$

Kết hợp ĐKXĐ và 2 trường hợp trên ta có: Pt có vô số nghiệm $1\leq x\leq 2$

Vd2: Giải pt: $\sqrt{x+\sqrt{6x-9}}+\sqrt{x-\sqrt{6x-9}}=\sqrt{6}$ (*)
ĐKXĐ: $x\geq \frac{3}{2}$
PT (*) $\Leftrightarrow x+\sqrt{6x-9}+x-\sqrt{6x-9}+2\sqrt{(x+\sqrt{6x-9})(x-\sqrt{6x-9})}=6\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{(x-3)^2}=6\Leftrightarrow 2x+2|x-3|=6\Leftrightarrow |x-3|=3-x\Leftrightarrow x-3\leq 0\Leftrightarrow x\leq 3$

Kết hợp với ĐKXĐ ta có: $\frac{3}{2}\leq x\leq 3$

3.3) Đặt ẩn phụ, đưa phương trình vô tỷ về phương trình bậc cao hoặc hệ phương trình
(Bài viết của L Lawliet ở đây)
 

 

 

1. Phương trình dạng $ax^2+bx+c\pm \sqrt{mx^2+nx+p}=q$ với $an=bm$. Đặt $t=\sqrt{mx^2+nx+p}$. Điều kiện nói chung là $t\geq 0$
2. Phương trình vô tỉ dạng $\sqrt{a+mx}+\sqrt{b-mx}+c\sqrt{(a+mx)(b-mx)}+d=0$
Điều kiện phương trình có nghiệm là $\sqrt{a+mx}\geq 0$ và $\sqrt{b-mx}\geq 0$ $(c,m\neq 0)$
Đặt $t=\sqrt{a+mx}+\sqrt(b-mx)\geq 0\Rightarrow \sqrt{(a+mx)(b-mx)}=\frac{t^2-a-b}{2}$
3. Phương trình dạng $aP(x)+bQ(x)+c\sqrt{P(x).Q(x)}=0(a,b,c\neq 0)$
Nếu $P(x)=0$ thì $Q(x)=0$
Nếu $P(x)\neq 0$ thì chia hai vế của phương trình cho $P(x)\neq 0$ rồi đặt $t=\frac{Q(x)}{P(x)}\geq 0$
4. Trong phương trình vô tỉ đặt $\sqrt{f(x)}=t\geq 0$ nhưng không tính được tất cả các số hạng của phương trình theo ẩn $t$ thì ta giải phương trình vô tỉ theo ẩn $t$
Đó là các phương pháp cơ bản cần nắm vững còn phương pháp nhân lượng liên hợp rất dài nên mình không nói ở đây.

Vd1: Giải pt: $3x^2+21x+28+2\sqrt{x^2+7x+7}=2$ (*)
ĐKXĐ: $x^2+7x+7\geq 0$ (Sau khi tìm được $x$ thì thay vào xem có thỏa mãn không, nếu không có thể giải chi tiết ĐKXĐ này)

Đặt $x^2+7x+7=a\geq -5,25$
PT (*) $\Leftrightarrow 3a+2\sqrt{a}+7=2\Leftrightarrow a+\frac{2}{3}\sqrt{a}+\frac{5}{3}=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\frac{1}{3})^2=\frac{-14}{9}$ (Vô lý)
Vậy PT đã cho vô nghiệm.
$S=\left \{ \phi \right \}$

Vd2: Giải pt: $\sqrt{2x+3+\sqrt{x+2}}+\sqrt{2x+2-\sqrt{x+2}}=1+2\sqrt{x+2}$
ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix}x\geq -2 & & \\ 2x+3\pm \sqrt{x+2}\geq 0 & & \end{matrix}\right.$
Đặt $\sqrt{2x+3+\sqrt{x+2}}=a;\sqrt{2x+2-\sqrt{x+2}}=b$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a^2-b^2=1+2\sqrt{x+2} & & \\ a+b=1+2\sqrt{x+2} & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a+b=a^2-b^2\Leftrightarrow a-b=1$ (Do $a+b>0$)
$\Leftrightarrow a=b+1$
Mà $a+b=1+2\sqrt{x+2}\Leftrightarrow b+1+b=1+2\sqrt{x+2}\Leftrightarrow 2b=2\sqrt{x+2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=\sqrt{x+2} & & \\ a=\sqrt{x+2}+1 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{2x+2-\sqrt{x+2}}=\sqrt{x+2} (1) & & \\ \sqrt{2x+3+\sqrt{x+2}}=\sqrt{x+2} (2) & & \end{matrix}\right.$
(1) $\Leftrightarrow 2x+2-\sqrt{x+2}=x+2\Leftrightarrow x=\sqrt{x+2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq 0 & & \\ x^2=x+2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2$

Thay $x=2$ thấy thỏa mãn.
Vậy $x=2$ là nghiệm của pt trên.

3.4) Dùng bất đẳng thức:
Vd1: Giải pt: $\sqrt{x-1}-\sqrt{5x-1}=\sqrt{3x-2}$
ĐKXĐ: $x\geq 1$
$\Rightarrow x<5x\Rightarrow x-1<5x-1\Leftrightarrow \sqrt{x-1}<\sqrt{5x-1}\Rightarrow \sqrt{x-1}-\sqrt{5x-1}<0$
$\Leftrightarrow \sqrt{3x-2}<0$ (Vô lý với mọi $x$ thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy PT trên vô nghiệm.

Vd2: Giải pt: $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2$
Ta thấy: $VT=\sqrt{3(x+1)^2+4}+\sqrt{5(x+1)^2+9}\geq 2+3=5$
Mà $VP=5-(x+1)^2\leq 5$
$\Rightarrow VT=VP=5$
Dấu = có khi: $x=-1$

Vd3: $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x}=1$
Ta thấy: $x=0$ là một nghiệm của pt.
$\cdot$ Nếu $x>0\Rightarrow 2x+1>1\Rightarrow \sqrt[3]{2x+1}>1$
Mà $\sqrt[3]{x}>0\Rightarrow VT>1=VP$
$\Rightarrow$ Mọi $x>0$ không là nghiệm của pt.
$\cdot$ Nếu $x<0\Rightarrow 2x+1<1\Rightarrow \sqrt[3]{2x+1}<1$
Mà $\sqrt[3]{x}<0\Rightarrow VT<1=VP$
$\Rightarrow$ Mọi $x<0$ không là nghiệm của pt.

Vậy pt đã cho nghiệm $x=0$ là duy nhất.

Vd4: $\frac{x}{\sqrt{3x-2}}+\frac{\sqrt{3x-2}}{x}=2$
ĐKXĐ: $x>\frac{2}{3}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
$\frac{x}{\sqrt{3x-2}}+\frac{\sqrt{3x-2}}{x}\geq 2$
Dấu = xảy ra khi: $x=\sqrt{3x-2}\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=1 & & \\ x=2 & & \end{bmatrix}$ (thỏa)
Vậy $x=1$; $x=2$ là nghiệm của pt.

Bài tập:
Giải pt:
1) $3+\sqrt{2x-3}=x$
2) $\sqrt{x+3}-\sqrt{x-4}=1$
3) $\sqrt{15-x}+\sqrt{3-x}=6$
4) $\sqrt{10-x}+\sqrt{x+3}=5$
5) $\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x+5}=1$
6) $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-1}=1$
7) $\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=1$
8) $(x+5)(x-2)-4(x+5)\sqrt{\frac{x-2}{x+5}}+3=0$




3.5) Tách thành tổng hoặc hiệu của các bình phương:

Vd1: Giải pt: $x^2+4x+5=2\sqrt{2x+3}$
ĐK: $x\geq -\frac{3}{2}$
$PT\Leftrightarrow x^2+2x+1+2x+4-2\sqrt{2x+3}=0\Leftrightarrow (x+1)^2+(\sqrt{2x+3}-1)^2=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+1=0 & & \\ 2x+3=1 & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x=-1$ (thỏa)
Vậy $x=-1$ là nghiệm của pt.

Vd2: Giải pt: $x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}=1,5xy$
ĐK: $x\geq 1; y\geq 1$
$PT\Leftrightarrow 2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}-3xy=0$
$\Leftrightarrow 2x\sqrt{y-1}-xy+4y\sqrt{x-1}-2xy=0$
$\Leftrightarrow x(y-2\sqrt{y-1})+2y(x-2\sqrt{x-1})=0$
$\Leftrightarrow x(\sqrt{y-1}-1)^2+2y(\sqrt{x-1}-1)^2=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{y-1}=1 & & \\ \sqrt{x-1}=1 & & \end{matrix}\right.$ (Do ĐKXĐ)
$\Rightarrow x=y=2$ (thỏa)
3.6) Nhân liên hợp:
Vd: Giải pt: $PT\Leftrightarrow \sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{3x^2-5x-1}=\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4}$
ĐKXĐ: 4 biểu thức trong căn $\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{3x^2-5x-1})(\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1})}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}=\frac{(\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4})(\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4})}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}$
$\Leftrightarrow \frac{3x^2-7x+3-3x^2+5x+1}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}=\frac{x^2-2-x^2+3x-4}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}$
$\Leftrightarrow \frac{4-2x}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}=\frac{-6+3x}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}$
$\Leftrightarrow (2-x)(\frac{2}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}+\frac{3}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}})=0$
$\Leftrightarrow x=2$
Bài tập:
Giải pt:
9) $2012x^2-4x+3=2011x\sqrt{4x-3}$
10) $\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}+2\sqrt{49x^2+7x-42}=181-14x$
11) $\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{1-x}}=1$
12) $\sqrt{1-\sqrt{x^2-x}}=\sqrt{x}-1$
13) $\sqrt{x^2+6}=x-2\sqrt{x^2-1}$

P/s: Các bài làm rồi sẽ được tô màu đỏ, các bạn khi giải bài nhớ trích dẫn và ghi số thứ tự bài nha.

Edited by Viet Hoang 99, 17-08-2014 - 07:37.

[Kaito Kuroba]

Giải pt:
1) $3+\sqrt{2x-3}=x$

1.
chuyển 3 sang VP, BP ta được: $2x-3=x^2-6x+9\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=6 & \\ x=2& \end{bmatrix}$ (ĐK các bạn tự đặt nhé!)

2) $\sqrt{x+3}-\sqrt{x-4}=1$

2.
chuyển $\sqrt{x-4}$ sang VP rồi BP 2 lần là OK!

câu 3,4,5 làm tương tự!

6) $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-1}=1$

6.
pttd: $\left | \sqrt{x-1} -1\right |-\sqrt{x-1}=1$ đến đây xét 2 trường hợp là OK!

7) $\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=1$

7.

ta có: $\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=1\Leftrightarrow \left | x-2 \right |+\left | x-3 \right |=1$

đến đây ta xét khoảng...., hoặc dùng bdt như thế này:
$\left | x-2 \right |+\left | x-3 \right |\geq \left | x-2+3-x \right |=1."="\Leftrightarrow (x-2)(3-x)\geq 0\Leftrightarrow 2\leq x\leq 3$

8) $(x+5)(x-2)-4(x+5)\sqrt{\frac{x-2}{x+5}}+3=0$

8.

ta đặt: $\left ( x+5 \right )\sqrt{\frac{x-2}{x+5}}=t$
$\Rightarrow t^2=(x+5)(x-2)$

pttt: $t^2-4t+3=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=3 & \\ t=1 & \end{bmatrix}$ đến đây thay t vào rồi BP là được!

Edited by E. Galois, 13-04-2014 - 21:48.

[Viet Hoang 99]

 

Giải pt:
1) $3+\sqrt{2x-3}=x$

2) $\sqrt{x+3}-\sqrt{x-4}=1$

3) $\sqrt{15-x}+\sqrt{3-x}=6$

4) $\sqrt{10-x}+\sqrt{x+3}=5$

5) $\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x+5}=1$

6) $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-1}=1$

7) $\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=1$

8) $(x+5)(x-2)-4(x+5)\sqrt{\frac{x-2}{x+5}}+3=0$

 

 

1) chuyển 3 sang VP, BP ta được: $2x-3=x^2-6x+9\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=6 & \\ x=2& \end{bmatrix}$ (ĐK các bạn tự đặt nhé!)

Ghi số thứ tự bài vào nhé bạn.

BP 2 vế cần ĐK: $x\geq 3$. Vậy ta chọn được $x=6$ là nghiệm.

 

 

2)

chuyển $\sqrt{x-4}$ sang VP rồi BP 2 lần là OK!

 

câu 3,4,5 làm tương tự!

 

2) Kết quả: $x=13$
3) Kết quả: $x=-1$
4) Kết quả: $x=1;6$

5) Kết quả: $x=20$

 

 

6) pttd: $\left | \sqrt{x-1} -1\right |-\sqrt{x-1}=1$ đến đây xét 2 trường hợp là OK!

6) Kết quả: $x=1$

[Viet Hoang 99]

7) ta có: $\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=1\Leftrightarrow \left | x-2 \right |+\left | x-3 \right |=1$

 

đến đây ta xét khoảng...., hoặc dùng bdt như thế này:

$\left | x-2 \right |+\left | x-3 \right |\geq \left | x-2+3-x \right |=1."="\Leftrightarrow x-2=3-x\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$

Xem lại lý thuyết phần đầu ở đây nha bạn.
$|a|+|b|\geq |a+b|$ xảy ra dấu = khi: $ab\geq 0$
Vậy bài 7 dấu = có khi: $(x-2)(3-x)\geq 0$

Từ đó có: $2\leq x\leq 3$

 

 

8)

ta đặt: $\left ( x+5 \right )\sqrt{\frac{x-2}{x+5}}=t$

$\Rightarrow t^2=(x+5)(x-2)$

 

pttt: $t^2-4t+3=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=3 & \\ t=1 & \end{bmatrix}$  đến đây thay t vào rồi BP là được!

 

8) Kết quả: $\begin{bmatrix}x=\frac{1}{2}(-3\pm \sqrt{53}) & & \\ x=\frac{1}{2}(-3\pm \sqrt{85}) & & \end{bmatrix}$

[Kaito Kuroba]

Bài tập:

Giải pt:
9) $2012x^2-4x+3=2011x\sqrt{4x-3}$

9.

 

để dẽ nhìn hơn ta đặt: $\left\{\begin{matrix} x=a & \\ \sqrt{4x-3}=b& \end{matrix}\right.$

pt trở thành: $2012a^2-2011ab-b^2=0\Rightarrow \begin{bmatrix} a=b & \\ a=\frac{-1}{2012}.b& \end{bmatrix}$

 

nghiệm: $x=1;x=3$

Edited by Kaito Kuroba, 24-02-2014 - 13:19.

[Kaito Kuroba]

Giải pt:
 

10) $\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}+2\sqrt{49x^2+7x-42}=181-14x$

 

 

 

10.

đăt: $\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}=a\Rightarrow 14x+2\sqrt{49x^2+7x-42}=a^2-1$

pttt: $a^2+a-182=0\Rightarrow \begin{bmatrix} a=13 & \\ a=-14(loai)& \end{bmatrix}$

đến đây là OK rôi.

 

nghiệm: $x=6$

 

C2: trục căn thức.

Edited by Kaito Kuroba, 24-02-2014 - 13:22.

[Kaito Kuroba]

11) $\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{1-x}}=1$

 

11.

 

C1: đăt:

$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}=a & \\
 \sqrt{1-x}=b&
\end{matrix}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a^2+b^2=1 & \\
a+\sqrt{a+b}=1 &
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a=0 & \\
 b=1&
\end{matrix}\right.
\Rightarrow x=0$

 

C2: trục căn thức:

pttt:$\sqrt{x}+\frac{x(\sqrt{1-x}+1)-x}{(\sqrt{1-x}+1)(\sqrt{x+\sqrt{1-x}+1})}=0\Rightarrow \sqrt{x}=0\Rightarrow x=0$

Edited by Kaito Kuroba, 24-02-2014 - 13:22.

[Viet Hoang 99]

11.

 

C1: đăt:

$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}=a & \\
 \sqrt{1-x}=b&
\end{matrix}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a^2+b^2=1 & \\
a+\sqrt{a+b}=1 &
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a=0 & \\
 b=1&
\end{matrix}\right.
\Rightarrow x=0$

 

C2: trục căn thức:

pttt:$\sqrt{x}+\frac{x(\sqrt{1-x}+1)-x}{(\sqrt{1-x}+1)(\sqrt{x+\sqrt{1-x}+1})}=0\Rightarrow \sqrt{x}=0\Rightarrow x=0$

Bạn ghi số thứ tự bài vào.

C1: Giải rõ ra cái hệ kia tìm $a;b$

Mặt khác bài 11 mình làm ra 2 nghiệm

11) 
ĐKXĐ: $0\leq x\leq 1$
$\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{1-x}}=1\Leftrightarrow x+\sqrt{1-x}=1-2\sqrt{x}+x\Leftrightarrow 1-x=1+4x-4\sqrt{x}\Leftrightarrow 5x-4\sqrt{x}=0\Leftrightarrow \sqrt{x}(5\sqrt{x}-4)=0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 & & \\ x=\frac{16}{25} & & \end{matrix}\right.$ (thỏa)

Thử lại: Nhận nghiệm $x=0$

Edited by Viet Hoang 99, 24-02-2014 - 18:21.

[Kaito Kuroba]

12) $\sqrt{1-\sqrt{x^2-x}}=\sqrt{x}-1$

 

 

 

12.

 

pttd:$\sqrt{1-\sqrt{x^2-x}}-\frac{1}{4}=\sqrt{x}-\frac{5}{4}
\Rightarrow \frac{x-\frac{25}{16}}{\sqrt{x}+\frac{5}{4}}+\frac{(x-\frac{25}{16})(x+\frac{9}{16})}{(\sqrt{x^2-x}-\frac{15}{16})(\sqrt{1-\sqrt{x^2-x}+\frac{1}{4}})}=0\Rightarrow x=\frac{25}{16}$

 

 

C2: đăt: $\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}=a & \\
 \sqrt{1-x}=b&
\end{matrix}\right.$

pttt: $\sqrt{1-ab}=a-1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0 & \\ a-2=b& \end{matrix}\right.$

Edited by Kaito Kuroba, 24-02-2014 - 13:49.

[Kaito Kuroba]

13) $\sqrt{x^2+6}=x-2\sqrt{x^2-1}$

 

13.

 

pt này chắc là:  $\sqrt{x^2+6}=x+2\sqrt{x^2-1}$ (nếu ko thì pt vô nghiệm)

 

pttd: $\frac{x^2-\frac{25}{16}}{\sqrt{x^2+6}+\frac{11}{14}}=x-\frac{5}{4}+2(\frac{x^2-\frac{25}{16}}{\sqrt{x^2-1}-\frac{3}{4}})\Rightarrow x=\frac{5}{4}$

[Viet Hoang 99]

13.

 

pt này chắc là:  $\sqrt{x^2+6}=x+2\sqrt{x^2-1}$ (nếu ko thì pt vô nghiệm)

 

pttd: $\frac{x^2-\frac{25}{16}}{\sqrt{x^2+6}+\frac{11}{14}}=x-\frac{5}{4}+2(\frac{x^2-\frac{25}{16}}{\sqrt{x^2-1}-\frac{3}{4}})\Rightarrow x=\frac{5}{4}$

 

 

 

13) $\sqrt{x^2+6}=x-2\sqrt{x^2-1}$

Thì nó vô nghiệm đó:

13)

ĐKXĐ: $x\geq 1$

$\Rightarrow x^2+6>x^2\Leftrightarrow VT=\sqrt{x^2+6}>x$

Mà $VP=x-2\sqrt{x^2-1}\leq x$

Vậy ta có pt vô nghiệm.

[Viet Hoang 99]

Giải pt:
14) $x=(3+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^2$

15) $2(x^2+2)=5\sqrt{x^3+1}$

16) $\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}=x^2-16x+66$

17) $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{x+1}$

18) $\sqrt{3x+15}-\sqrt{4x+17}=\sqrt{x+2}$

Edited by Viet Hoang 99, 04-04-2014 - 23:27.

[canhhoang30011999]

15 pt$\Leftrightarrow 2(x^{2}+2)=5\sqrt{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

đặt $a= x+1$,$b= x^{2}-x+1$

pt trở thành 

$2(a^{2}+b^{2})=5ab$

đến đây xét th là ra

16 áp dụng bđt BCS ta có

$\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}\leq \sqrt{2(x-7+9-x)}2$

$x^{2}-16x+66= (x-8)^{2}+2\geq 2$

vậy pt có nghiệm x=2

[Kaito Kuroba]

16) $\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}=x^2-16x+66$

 

 

 

16.

ta có: $VT=\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}\leq \sqrt{2(x-7+9-x)}=2$   (Áp dụng BCS)

;$VP=x^2-16x+66=(x-8)^2+2\geq 2$

 

$"="\Leftrightarrow x=8$

Edited by Viet Hoang 99, 04-04-2014 - 23:23.

[Kaito Kuroba]

Giải pt:

17) $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{x+1}$

 

 

 

17.chuyển $\sqrt{x-2}$ sang VP. rồi BP ta được.

$\sqrt{2x-1}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}\Leftrightarrow -2\sqrt{(x+1)(x-2)}=0\Leftrightarrow x=2$

$x=-1$ loại vì không thoả mãn ĐK.

[canhhoang30011999]

Giải pt:
14) $x=(3+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^2$

15) $2(x^2+2)=5\sqrt{x^3+1}$

16) $\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}=x^2-16x+66$

17) $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{x+1}$

18) $\sqrt{3x+15}-\sqrt{4x+17}=\sqrt{x+2}$

17 đặt $\sqrt{2x-1}=a,\sqrt{x-2}=b$

pt$\Leftrightarrow a+b=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

đến đây xét các th

18 do 4x+17-3x-15=x+2$\geq$0

$\Rightarrow \sqrt{4x+17}\geq \sqrt{3x+15}$

$\sqrt{3x+15}-\sqrt{4x+17}\leq 0\leq \sqrt{x+2}$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=-2

[Kaito Kuroba]

Giải pt:

18) $\sqrt{3x+15}-\sqrt{4x+17}=\sqrt{x+2}$

C2: $\sqrt{3x+15}+\sqrt{x+2}=\sqrt{4x+17}\Leftrightarrow 2\sqrt{(3x+15)(x+2)}=0\Leftrightarrow x=-2$

[Kaito Kuroba]

Giải pt:
14)  $x=(3+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^2$

nhân lại ta được:$2x=6-3\sqrt{x}-6\sqrt{1-\sqrt{x}}+2\sqrt{x}-2\sqrt{x-x\sqrt{x}}$

đặt: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=a & \\ \sqrt{1-\sqrt{x}}=b& \end{matrix}\right.$

PTTT: $$2a^2-2a(1-b)-3b^2+6b-3=0. \rightarrow \Delta'=7(b-1)^2 \Rightarrow \begin{bmatrix} a=1-b+\sqrt{7}(b-1) & \\ a=1-b-\sqrt{7}(b-1) & \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x=0 & \\ x=\frac{11-4\sqrt{7}}{4}& \end{bmatrix}$$

Edited by Kaito Kuroba, 24-02-2014 - 23:03.

[Viet Hoang 99]

Các bài làm hầu như không ghi ĐKXĐ vào, các bạn chú ý nhé. (Nhớ trích dẫn đề nữa)

 

Giải pt:

19) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

 

20) $\sqrt[3]{24+x}+\sqrt{12-x}=6$

 

21) $(x+1)(x+4)=5\sqrt{x^2+5x+28}$

 

22) $4\sqrt{(4-x)(2+x)}=x^2-2x-12$

 

23) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$

 

24) $5\sqrt{x}+\frac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\frac{1}{2x}+4$

 

25) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$

 

26) $x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

Edited by Viet Hoang 99, 06-04-2014 - 17:39.

[canhhoang30011999]

Các bài làm hầu như không ghi ĐKXĐ vào, các bạn chú ý nhé. (Nhớ trích dẫn đề nữa)

 

Giải pt:

19) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

 

20) $\sqrt[3]{24+x}+\sqrt{12-x}=6$

 

21) $(x+1)(x+4)=5\sqrt{x^2+5x+28}$

 

22) $4\sqrt{(4-x)(2+x)}=x^2-2x-12$

 

23) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$

 

24) $5\sqrt{x}+\frac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\frac{1}{2x}+4$

 

25) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$

 

26) $x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

20 đặt $\sqrt[3]{24+x}=a,\sqrt{12-x}=b$

ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} & a^{3}+b^{2}=36 & \\ & a+b=6& \end{matrix}\right.$

đến đây rút thế là ra