2 replies to this topic

[LNH]

Tìm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả mãn $\forall m,n \in \mathbb{N}$:

1) $f\left ( 2 \right )=2$

2) $f\left ( mn \right )=f\left ( m \right )f\left ( n \right )$

3) $f\left ( n+1 \right )>f\left ( n \right )$

Kết quả chặt hơn:

Tìm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả mãn:

1) $f\left ( 2 \right )=2$

2) $f\left ( mn \right )=f\left ( m \right )f\left ( n \right )$ ($m,n$ nguyên tố cùng nhau)

3) $f\left ( n+1 \right )>f\left ( n \right )$

[Juliel]

Tìm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả mãn $\forall m,n \in \mathbb{N}$:

1) $f\left ( 2 \right )=2$

2) $f\left ( mn \right )=f\left ( m \right )f\left ( n \right )$

3) $f\left ( n+1 \right )>f\left ( n \right )$

 

Một bài toán tương tự và khó hơn :

Tìm hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ và thỏa hệ :

$$\left\{\begin{matrix} f(4)=4\\ f(2m)=2f(m),\;\forall m\equiv 1\;(mod\;2)\\ f(m)<f(n),\;\forall m<n \end{matrix}\right.$$

[vutuanhien]

Tìm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả mãn $\forall m,n \in \mathbb{N}$:

1) $f\left ( 2 \right )=2$

2) $f\left ( mn \right )=f\left ( m \right )f\left ( n \right )$

3) $f\left ( n+1 \right )>f\left ( n \right )$

Kết quả chặt hơn:

Tìm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả mãn:

1) $f\left ( 2 \right )=2$

2) $f\left ( mn \right )=f\left ( m \right )f\left ( n \right )$ ($m,n$ nguyên tố cùng nhau)

3) $f\left ( n+1 \right )>f\left ( n \right )$

Bài $1$ thì đơn giản quá. Ta có $2=f(2.1)=f(2).f(1)\Rightarrow f(1)=1$, $2=f(2)< f(3)< f(4)=4\Rightarrow f(3)=3$

Sau đó quy nạp

Bài $2$ khó hơn một chút. Ta vẫn có $2=f(2.1)=f(2).f(1)\Rightarrow f(1)=1$. 

$f(3).f(5)=f(15)< f(18)=2.f(9)< 2f(10)=4f(5)\Rightarrow f(3)< 4$ mà $f(3)>2$ nên $f(3)=3$

Tiếp theo ta quy nạp $f(n)=n$

Ta giả sử mệnh đề đúng đến $n=k$

Thế thì

$k=f(k)<f(k+1)<....<f(k(k-1))=f(k).f(k-1)=k.(k-1)$

Theo nguyên lí sắp thứ tự tốt, ta phải có $f(k+1)=k+1, f(k+2)=k+2,...$ nên gt quy nạp đúng với $n=k+1$. Ta có đpcm

$2$ bài khó hơn 

Bài 3:Tìm $f:\mathbb{Z^{+}}\rightarrow [1, +\infty)$ thỏa mãn điều kiện:

1) $f(2)=2$

2) $f(m.n)=f(m).f(n)$ $\forall m,n \in \mathbb{Z^{+}}$

3) $f$ tăng

Bài 4:Tìm $f:\mathbb{Z^{+}}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

1) $f(m.n)=f(m).f(n)$ $\forall m,n\in \mathbb{Z^{+}}, (m,n)=1$

2) $f$ tăng

Edited by vutuanhien, 23-02-2014 - 11:25.