Chủ đề này có 1 trả lời

[LNH]

Cho $a \in \mathbb{R}$ và $\epsilon >0$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $p$ và số nguyên $m$ sao cho $\left | pa-m \right |<\epsilon$

[WhjteShadow]

Cho $a \in \mathbb{R}$ và $\epsilon >0$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $p$ và số nguyên $m$ sao cho $\left | pa-m \right |<\epsilon$

Thấy lâu không ai làm :-" Mình làm vậy :

Chọn $n$ là số nguyên dương $>\frac{1}{\epsilon}$. Xét $n+1$ giá trị sau : $\{a\},\{2a\},...,\{(n+1).a\}$ thuộc khoảng $[0;1)$ .

Ta chia $[0;1)$ thành $n$ khoảng con $\left[0;\frac{1}{n}\right]$, $\left(\frac{1}{n};\frac{2}{n}\right]$,...,$\left(\frac{n-1}{n};1\right)$, tồn tại $i,j$ sao cho $\{i.a\},\{j.a\}\in \left(\frac{x}{n};\frac{x+1}{n}\right]$. Lúc đó :

$$\frac{-1}{n}<\{i.a\}-\{j.a\}<\frac{1}{n}$$

$$\Leftrightarrow | (i-j)a -([i.a]-[j.a])|<\frac{1}{n}<\epsilon\,\,\,\,\,\square$$

+) Có thể thay $\epsilon$ thành $a+1$ để thú vị hơn

====================================================

Bài tập tương tự (cách làm hơi khác :"> ~ )

Cho $d\in\mathbb{N}$ không là số chính phương, chứng minh rằng tồn tại vô số cặp $(x,y)\in \mathbb{N}$ sao cho :

$$|x-\sqrt{d}.y|< \frac{2}{\sqrt{d}.y}$$

Và chứng minh với mọi $c>4d$ thì tồn tại hữu hạn cặp $(x,y)\in \mathbb{N}$ để :

$$|x-\sqrt{d}.y|< \frac{1}{\sqrt{c}.y}$$