Chủ đề này có 2 trả lời

[NMDuc98]

Giải Bất phương trình sau: $\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}\leq 4$

[banhgaongonngon]

Giải Bất phương trình sau: $\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}\leq 4$

 

Điều kiện $0 < x < 2$

 

Xét hàm số $f\left ( t \right )=\sqrt{t+\frac{3}{t}}$ trên $(0;2)$

 

Ta có

$f'(t)=\frac{t^{2}-3}{2\sqrt{t^{5}+3t^{3}}}$

 

$f''(t)=\frac{27+18t^{2}-t^{4}}{4\left ( t^{2}+3 \right )\sqrt{t^{7}+3t^{5}}}> 0, \forall t\in (0;2)$

 

Do đó $f$ lồi trên $(0;2)$

 

Áp dụng bất đẳng thức $Jensen$ ta có

$f(x)+f(2-x)\geq 2f\left ( \frac{x+2-x}{2} \right )=4$

 

Do đó bất phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 13-06-2014 - 16:35

[NMDuc98]

Điều kiện $0 < x < 2$

 

Xét hàm số $f\left ( t \right )=\sqrt{t+\frac{3}{t}}$ trên $(0;2)$

 

Ta có

$f'(t)=\frac{t^{2}-3}{2\sqrt{t^{5}+3t^{3}}}$

 

$f''(t)=\frac{27+18t^{2}-t^{4}}{4\left ( t^{2}+3 \right )\sqrt{t^{7}+3t^{5}}}> 0, \forall t\in (0;2)$

 

Do đó $f$ lồi trên $(0;2)$

 

Áp dụng bất đẳng thức $Jensen$ ta có

$f(x)+f(2-x)\geq 2f\left ( \frac{x+2-x}{2} \right )=4$

 

Do đó bất phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$

Cảm ơn anh!Bài này cũng có thể giải bằng BĐT AM-GM thông dụng!