Giải Bất phương trình sau: $\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}\leq 4$
Giải BPT: $\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}\leq 4$
#1
Đã gửi 25-02-2014 - 10:01
Nguyễn Minh Đức
Lặng Lẽ
THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)
#2
Đã gửi 13-06-2014 - 16:33
Giải Bất phương trình sau: $\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}\leq 4$
Điều kiện $0 < x < 2$
Xét hàm số $f\left ( t \right )=\sqrt{t+\frac{3}{t}}$ trên $(0;2)$
Ta có
$f'(t)=\frac{t^{2}-3}{2\sqrt{t^{5}+3t^{3}}}$
$f''(t)=\frac{27+18t^{2}-t^{4}}{4\left ( t^{2}+3 \right )\sqrt{t^{7}+3t^{5}}}> 0, \forall t\in (0;2)$
Do đó $f$ lồi trên $(0;2)$
Áp dụng bất đẳng thức $Jensen$ ta có
$f(x)+f(2-x)\geq 2f\left ( \frac{x+2-x}{2} \right )=4$
Do đó bất phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 13-06-2014 - 16:35
#3
Đã gửi 13-06-2014 - 16:47
Điều kiện $0 < x < 2$
Xét hàm số $f\left ( t \right )=\sqrt{t+\frac{3}{t}}$ trên $(0;2)$
Ta có
$f'(t)=\frac{t^{2}-3}{2\sqrt{t^{5}+3t^{3}}}$
$f''(t)=\frac{27+18t^{2}-t^{4}}{4\left ( t^{2}+3 \right )\sqrt{t^{7}+3t^{5}}}> 0, \forall t\in (0;2)$
Do đó $f$ lồi trên $(0;2)$
Áp dụng bất đẳng thức $Jensen$ ta có
$f(x)+f(2-x)\geq 2f\left ( \frac{x+2-x}{2} \right )=4$
Do đó bất phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$
Cảm ơn anh!Bài này cũng có thể giải bằng BĐT AM-GM thông dụng!
Nguyễn Minh Đức
Lặng Lẽ
THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh