Chủ đề này có 8 trả lời

[mnguyen99]

1.Cho các số thực x thỏa $x^{2}+(3-x)^{2}\geq 5$. 

                 tìm min P=$x^{4}+(3-x)^{4}+6x^{2}(3-x)^{2}$

2.CHo các số thực dương a,b,c thỏa abc=1/6. CM

        $3+\frac{a}{2b}+\frac{2b}{3c}+\frac{3c}{a}\geq a+2b+3c+\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}$

[hoctrocuanewton]

đặt $\left\{\begin{matrix} a=x^{2}\\ b=(3-x)^{2} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P=a^{2}+b^{2}+ab= \frac{1}{2}(a+b)^{2}+\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})(1)$

ta có

$a^{2}+b^{2}\geqslant \frac{(a+b)^{2}}{2}\geqslant \frac{25}{2}(2)$

từ (1)(2) suy ra

$P\geqslant \frac{25}{2}+\frac{25}{4}=\frac{75}{4}$

P/s: sorry nhìn nhầm đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 25-02-2014 - 21:11

[mnguyen99]

đặt $\left\{\begin{matrix} a=x^{2}\\ b=(3-x)^{2} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P=a^{2}+b^{2}+ab= \frac{1}{2}(a+b)^{2}+\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})(1)$

ta có

$a^{2}+b^{2}\geqslant \frac{(a+b)^{2}}{2}\geqslant \frac{25}{2}(2)$

từ (1)(2) suy ra

$P\geqslant \frac{25}{2}+\frac{25}{4}=\frac{75}{4}$

$ a^{2}+b^{2}+6ab$

[Johan Liebert]

$ a^{2}+b^{2}+6ab$

Đặt $x=a \ \ \ \ 3-x=b$

 

$\rightarrow a+b=3$

 

$\leftrightarrow a^2+b^2+2ab=9$

 

$\leftrightarrow (a^2+a^2)^2+4a^2b^2+4ab(a^2+b^2)=81$

 

$\leftrightarrow a^4+b^4+6a^2b^2+4ab(a^2+b^2)=81$

 

$\leftrightarrow P=81-4ab(a^2+b^2)$

 

Lại có: $2ab=9-a^2-b^2$

 

$\leftrightarrow P=81-2(9-a^2-b^2)(a^2+b^2)=81-18(a^2+b^2)+(a^2+b^2)^2$

 

$\leftrightarrow P=81+2(a^2+b^2-5)^2+2(a^2+b^2-5)-40$

 

Vì $a^2+b^2 \geq 5 \rightarrow P \geq 41$

 

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x \in \{ 1;2 \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 25-02-2014 - 22:43

[leduylinh1998]

2.CHo các số thực dương a,b,c thỏa abc=1/6. CM

        $3+\frac{a}{2b}+\frac{2b}{3c}+\frac{3c}{a}\geq a+2b+3c+\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}$

Ta có: 

$BĐT\Leftrightarrow 3+\frac{a^{2}+4b^{2}+9c^{2}}{6abc}\geq a+2b+3c+\frac{a+2b+3c}{6abc}$

$\Leftrightarrow 3+a^{2}+4b^{2}+9c^{2}\geq 2(a+2b+3c)$

Theo BĐT AM-GM, ta có:

$a^{2}+1\geq 2a$

$4b^{2}+1\geq 4b$

$9c^{2}+1\geq 6c$

Cộng vế theo vế ta được ĐPCM

[mnguyen99]

Đặt $x=a \ \ \ \ 3-x=b$

 

$\rightarrow a+b=3$

 

$\leftrightarrow a^2+b^2+2ab=9$

 

$\leftrightarrow (a^2+a^2)^2+4a^2b^2+4ab(a^2+b^2)=81$

 

$\leftrightarrow a^4+b^4+6a^2b^2+4ab(a^2+b^2)=81$

 

$\leftrightarrow P=81-4ab(a^2+b^2)$

 

Lại có: $2ab=9-a^2-b^2$

 

$\leftrightarrow P=81-2(9-a^2-b^2)(a^2+b^2)=81-18(a^2+b^2)+(a^2+b^2)^2$

 

$\leftrightarrow P=81+2(a^2+b^2-5)^2+2(a^2+b^2-5)-40$

 

Vì $a^2+b^2 \geq 5 \rightarrow P \geq 41$

 

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x \in \{ 1;2 \}$

Giải thích với.

[Johan Liebert]

Giải thích với.

Biến đổi tương được thôi mà bạn

[mnguyen99]

Ta có: 

$BĐT\Leftrightarrow 3+\frac{a^{2}+4b^{2}+9c^{2}}{6abc}\geq a+2b+3c+\frac{a+2b+3c}{6abc}$

$\Leftrightarrow 3+a^{2}+4b^{2}+9c^{2}\geq 2(a+2b+3c)$

Theo BĐT AM-GM, ta có:

$a^{2}+1\geq 2a$

$4b^{2}+1\geq 4b$

$9c^{2}+1\geq 6c$

Cộng vế theo vế ta được ĐPCM

[leduylinh1998]

 

Ta có: 

$BĐT\Leftrightarrow 3+\frac{a^{2}+4b^{2}+9c^{2}}{6abc}\geq a+2b+3c+\frac{a+2b+3c}{6abc}$

$\Leftrightarrow 3+a^{2}+4b^{2}+9c^{2}\geq 2(a+2b+3c)$

Theo BĐT AM-GM, ta có:

$a^{2}+1\geq 2a$

$4b^{2}+1\geq 4b$

$9c^{2}+1\geq 6c$

Cộng vế theo vế ta được ĐPCM

 

Sorry. Mình làm sai rồi.

Bạn có thể tham khảo ở đây