Chủ đề này có 2 trả lời

[aidayta]

Cho 3 số dương x,y,z, có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

                                 $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

[Hoang Tung 126]

Cho 3 số dương x,y,z, có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

                                 $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

Theo Bunhiacopxki có:$\sum \sqrt{x+yz}=\sum \sqrt{x.1+yz}=\sum \sqrt{x(x+y+z)+yz}=\sum \sqrt{(x+y)(x+z)}\geq \sum x+\sum \sqrt{yz}=1+\sum \sqrt{yz}$

[Nguyen Chi Thanh 3003]

Cho 3 số dương x,y,z, có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

                                 $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

Cách 2 

bất đẳng thức tương đương

$\sqrt{x+yz} + \sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geqslant x+y+z + \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}$

ta sẽ chứng minh

$\sqrt{x+yz} \geqslant x +\sqrt{yz}$

Vì 2 vế đều dương nên ta có thể bình phương

$<=> x+yz \geqslant x^2 + yz +2x\sqrt{yz}$

$<=> 1 \geqslant x+2\sqrt{yz}$ (trừ cả 2 vế cho $yz$ và chia cả 2 vế cho $x>0$ )

$<=> 1 - x\geqslant 2\sqrt{yz}$

$<=> y+z \geqslant 2\sqrt{yz}$ (đúng theo $AM-GM$ )

Tương tự cho các biểu thức còn lại ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Chi Thanh 3003: 26-02-2014 - 20:48