Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$S$=$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$S$=$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$
BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC
nhận thấy MinP= $\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$
nên áp dụng bđt schwars ta có
$\sum \frac{1}{1-a}= \sum (1+\frac{a}{1-a})= 3+\sum \frac{a^{4}}{a^{3}-a^{4}}\geqslant 3+\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{3}-\sum a^{4}}(*)$
vậy bây giờ ta cần chứng minh $\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{3}-\sum a^{4}}\geqslant \frac{3+3\sqrt{3}}{2}(**)$
để chứng minh điều này ta cần chứng minh các bđt sau :
BĐT1:
ta có
$a^{4}+\frac{a^{2}}{3}\geqslant \frac{2a^{3}}{\sqrt{3}}$
cmtt ta có:
$\sum a^{4}+\sum \frac{ a^{2}}{3}\geqslant \sum \frac{2a^{3}}{\sqrt{3}}\Rightarrow \sum a^{3}\leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}(\sum a^{4}+\sum \frac{a^{2}}{3})$
BĐT2:
ta có:
$\sum (a^{4}+\frac{1}{9})\geqslant \sum \frac{2a^{2}}{3}\Rightarrow \sum a^{4}\geqslant \frac{1}{3}\sum a^{2}= \frac{1}{3}$
kết hợp BĐT 1 VÀ BĐT 2 ta có:
$\sum a^{3}-\sum a^{4}\leqslant \sum \frac{\sqrt{3}}{2}(a^{4}+\frac{a^{2}}{3})-\sum a^{4}= \sum \frac{1}{2\sqrt{3}}a^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2}\sum a^{4}\leqslant \frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{3}=\frac{-1+\sqrt{3}}{3}$
vậy $\sum a^{3}-\sum a^{4}\leqslant \frac{-1+\sqrt{3}}{3}$
suy ra $\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{3}-\sum a^{4}}\geqslant \frac{3+3\sqrt{3}}{2}$
do (**) đúng nên từ (*)(**) suy ra MinP=$\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$
P/s: khả năng trình bày của mình còn kém nên viết hơi khó hiểu mong các bạn thông cảm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 28-02-2014 - 11:14
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$S$=$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$
Cách khác:
Ta CM: $\frac{1}{1-a}\geq \frac{\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-1)^2}(3a^2-1)+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$
$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{3}a-1)^2.(\sqrt{3}a+2-\sqrt{3})}{2(1-a)(\sqrt{3}-1)^2}\geq 0$ (đúng với $a<1$)
Thiết lập 3 BĐT tương tự :$S\geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{ \sqrt{3}}$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh