Chủ đề này có 2 trả lời

[VodichIMO]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$S$=$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$

[hoctrocuanewton]

nhận thấy MinP= $\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

nên áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{1}{1-a}= \sum (1+\frac{a}{1-a})= 3+\sum \frac{a^{4}}{a^{3}-a^{4}}\geqslant 3+\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{3}-\sum a^{4}}(*)$

vậy bây giờ ta cần chứng minh $\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{3}-\sum a^{4}}\geqslant \frac{3+3\sqrt{3}}{2}(**)$

 để chứng minh điều này ta cần chứng minh các bđt sau :

BĐT1:

ta có

$a^{4}+\frac{a^{2}}{3}\geqslant \frac{2a^{3}}{\sqrt{3}}$

cmtt ta có:

$\sum a^{4}+\sum \frac{ a^{2}}{3}\geqslant \sum \frac{2a^{3}}{\sqrt{3}}\Rightarrow \sum a^{3}\leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}(\sum a^{4}+\sum \frac{a^{2}}{3})$

BĐT2:

ta có:

$\sum (a^{4}+\frac{1}{9})\geqslant \sum \frac{2a^{2}}{3}\Rightarrow \sum a^{4}\geqslant \frac{1}{3}\sum a^{2}= \frac{1}{3}$

 

kết hợp BĐT 1 VÀ BĐT 2 ta có:

$\sum a^{3}-\sum a^{4}\leqslant \sum \frac{\sqrt{3}}{2}(a^{4}+\frac{a^{2}}{3})-\sum a^{4}= \sum \frac{1}{2\sqrt{3}}a^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2}\sum a^{4}\leqslant \frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{3}=\frac{-1+\sqrt{3}}{3}$

 

vậy $\sum a^{3}-\sum a^{4}\leqslant \frac{-1+\sqrt{3}}{3}$

suy ra $\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{3}-\sum a^{4}}\geqslant \frac{3+3\sqrt{3}}{2}$

do (**) đúng nên từ (*)(**) suy ra MinP=$\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

 

P/s: khả năng trình bày của mình còn kém nên viết hơi khó hiểu mong các bạn thông cảm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 28-02-2014 - 11:14

[phuocdinh1999]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$S$=$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$

Cách khác:

Ta CM: $\frac{1}{1-a}\geq \frac{\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-1)^2}(3a^2-1)+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$

$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{3}a-1)^2.(\sqrt{3}a+2-\sqrt{3})}{2(1-a)(\sqrt{3}-1)^2}\geq 0$ (đúng với $a<1$)

Thiết lập 3 BĐT tương tự :$S\geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{ \sqrt{3}}$