Chủ đề này có 5 trả lời

[lahantaithe99]

1.Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $abc=1$. CMR

$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$

 

2. Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $x^{2013}+y^{2013}=2x^{1006}y^{1006}$

Tìm min $P=1-xy$  

[Kaito Kuroba]

1.Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $abc=1$. CMR

$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$

 

1.

$\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )=(1+a+b+ab)(1+c)\leq 2(1+ab)(1+c)=\frac{2(1+c)^2}{c}$

$\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}\geq \frac{1}{ab+1}=\frac{c}{c+1}$

 

=> $VT\geq \frac{c}{c+1}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{c}{(c+1)^2}=1 $

$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$

[Trang Luong]

 

1.

$\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )$$=(1+a+b+ab)(1+c)\leq 2(1+ab)(1+c)=\frac{2(1+c)^2}{c}$

$\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}\geq \frac{1}{ab+1}=\frac{c}{c+1}$

 

=> $VT\geq \frac{c}{c+1}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{c}{(c+1)^2}=1 $

$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

Anh có thể giải thick rõ đc ko.

[Kaito Kuroba]

Anh có thể giải thick rõ đc ko.

 

 vì theo nguyên lí  dirichlet thì trong 3 số $a,b,c$ có ít nhất trong 3 số a,b,c luôn tồn tại 2 số cùng nằm một phía so với 1. giã sử 2 số đó là a và b.

khi đó ta có:

 

$\left(a-1 \right)\left(b-1 \right)\geq 0$

[Kaito Kuroba]

2. Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $x^{2013}+y^{2013}=2x^{1006}y^{1006}$

Tìm min $P=1-xy$  

 

 

2.

 

từ:  $x^{2013}+y^{2013}=2x^{1006}.y^{1006}\Rightarrow x\left ( \frac{x}{y} \right )^{1006}+y\left ( \frac{y}{x} \right )^{1006}=2. \Rightarrow \Delta _{\frac{x}{y}}=1-xy$

 

để pt có nghiệm thì $\Leftrightarrow \Delta _{\frac{x}{y}}\geq 0\Leftrightarrow xy\leq 1$

$"="\Leftrightarrow xy=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 02-03-2014 - 21:40

[lovemathforever99]

2.Thế này đc không nhỉ?

Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $x^{2013}+y^{2013}=2x^{1006}y^{1006}$

Tìm min $P=1-xy$  

 

 

Xét $x=0\Rightarrow y=0\Rightarrow P=1$. tương tự với $y=0$

Xét $x,y\neq 0$.

$x^{2013}+y^{2013}=2x^{1006}y^{1006}$$> 0$

$\Rightarrow x,y$ không cùng âm.

• Nếu x,y trái dấu $\Rightarrow P> 1$
• nếu x,y cùng dấu $\Rightarrow x,y$ dương.

Cauchy: $2x^{1006}y^{1006}=x^{2013}+y^{2013}\geq 2\sqrt{x^{2013}y^{2013}}=2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}$

$\Rightarrow xy\leq 1\Rightarrow P\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 02-03-2014 - 21:49