Chủ đề này có 1 trả lời

[muamuaha125]

Cho a,b,c >o và abc=1. Tìm GTNN của P= $ \frac{1}{a^4(b+1)(c+1)}+\frac{1}{b^4(c+1)(a+1)}+\frac{1}{c^4(a+1)(b+1)}$

[lahantaithe99]

Cho a,b,c >o và abc=1. Tìm GTNN của P= $ \frac{1}{a^4(b+1)(c+1)}+\frac{1}{b^4(c+1)(a+1)}+\frac{1}{c^4(a+1)(b+1)}$

Ta có

 

$P=\sum \frac{1}{a^4(b+1)(c+1)}=\sum \frac{b^4c^4}{(b+1)(c+1)}=\sum \frac{b^3c^3}{(1+ab)(1+ac)}$

 

Áp dụng bđt Cosi

 

$\frac{b^3c^3}{(ab+1)(ac+1)}+\frac{ab+1}{8}+\frac{ac+1}{8}\geq \frac{3bc}{4}$

 

Thiết lập tương tự vs những phân thức còn lại ta đc

 

$\sum \frac{b^3c^3}{(ab+1)(ac+1)}\geq \frac{3(ab+bc+ac)}{4}-\frac{ab+bc+ac}{4}-\frac{3}{4}$

 

$=\frac{ab+bc+ac}{2}-\frac{1}{4}\geq \frac{3}{2}-\frac{3}{4}$

 

$=\frac{3}{4}$ (do  $ab+bc+ac\geq3$)

 

Vậy min $P=\frac{3}{4}$