Cho $a,b,c>0$
Chứng minh rằng $\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2}\left ( \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca} \right )\geq 4$
Theo Bunhia
$a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}\Rightarrow \frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{abc(a+b+c)}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ac)^2}$
Do đó
$VT\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2}[\frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ac)^2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}]$
$VT\geq 1+\frac{2(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2}(\frac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)^2}-\frac{1}{2})$
$= \frac{3}{4}+\frac{2(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{4(ab+bc+ac)^2}$
$\geq \frac{3}{4}+13.\sqrt[13]{\frac{(ab+bc+ac)^8(a^2+b^2+c^2)^{10}}{4^{13}(a^2+b^2+c^2)^8(ab+bc+ac)^{10}}}$
(cô si $8$ số $\frac{ab+bc+ac}{4(a^2+b^2+c^2)}$ và $5$ số $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(ab+bc+ca)^2}$)
$= \frac{3}{4}+13.\sqrt[13]{\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4^{13}(ab+bc+ac)^2}}\geq \frac{3}{4}+\frac{13}{4}=4$
P/s: Hốt bài này tốn bao nhiu t/g của mk mà ko bít có đúng ko
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 04-03-2014 - 20:24