Chủ đề này có 4 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho $a,b,c>0$

Chứng minh rằng $\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2}\left ( \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca} \right )\geq 4$

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duaconcuachua98: 04-03-2014 - 17:38

[lahantaithe99]

Cho $a,b,c>0$

Chứng minh rằng $\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2}\left ( \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca} \right )\geq 4$

Theo Bunhia 

$a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}\Rightarrow \frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{abc(a+b+c)}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ac)^2}$

 

Do đó

 

$VT\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2}[\frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ac)^2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}]$

 

$VT\geq 1+\frac{2(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2}(\frac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)^2}-\frac{1}{2})$ 

 

$= \frac{3}{4}+\frac{2(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{4(ab+bc+ac)^2}$

 

$\geq \frac{3}{4}+13.\sqrt[13]{\frac{(ab+bc+ac)^8(a^2+b^2+c^2)^{10}}{4^{13}(a^2+b^2+c^2)^8(ab+bc+ac)^{10}}}$

 

(cô si $8$ số $\frac{ab+bc+ac}{4(a^2+b^2+c^2)}$ và $5$ số $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(ab+bc+ca)^2}$)

 

$= \frac{3}{4}+13.\sqrt[13]{\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4^{13}(ab+bc+ac)^2}}\geq \frac{3}{4}+\frac{13}{4}=4$

 

 

P/s: Hốt bài này tốn bao nhiu t/g của mk mà ko bít có đúng ko  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 04-03-2014 - 20:24

[angleofdarkness]

 

Theo Bunhia 

$a^3+b^3+c^3\geq$ $\frac{(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$ $\Rightarrow \frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{abc(a+b+c)}\geq$ $\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(ab+bc+ac)^2}$

 

Do đó

 

$VT\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2}[\frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ac)^2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}]$

 

$VT\geq 1+\frac{2(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2}(\frac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)^2}-\frac{1}{2})$ 

 

$= \frac{3}{4}+\frac{2(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{4(ab+bc+ac)^2}$

 

$\geq \frac{3}{4}+13.\sqrt[13]{\frac{(ab+bc+ac)^8(a^2+b^2+c^2)^{10}}{4^{13}(a^2+b^2+c^2)^8(ab+bc+ac)^{10}}}$

 

(cô si $8$ số $\frac{ab+bc+ac}{4(a^2+b^2+c^2)}$ và $5$ số $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(ab+bc+ca)^2}$)

 

$= \frac{3}{4}+13.\sqrt[13]{\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4^{13}(ab+bc+ac)^2}}\geq \frac{3}{4}+\frac{13}{4}=4$

 

 

P/s: Hốt bài này tốn bao nhiu t/g của mk mà ko bít có đúng ko    

 

 

Chỗ màu đỏ chỉ thiếu cái mũ 2 ở các tử thôi   : $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}$ và $\frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ac)^2}$

 

Chỗ màu xanh thì mình nghĩ nên phân tích rõ hơn, mình cũng phải mất rất nhiều time để hiểu từng bước phân tích của bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 04-03-2014 - 20:08

[lahantaithe99]

 

 

 

 

Chỗ màu đỏ chỉ thiếu cái mũ 2 ở các tử thôi   : $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}$ và $\frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ac)^2}$

 

Chỗ màu xanh thì mình nghĩ nên phân tích rõ hơn, mình cũng phải mất rất nhiều time để hiểu từng bước phân tích của bạn

 

cái chỗ màu xanh đó

$\frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ac)^2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$

 

$=\frac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)^2}-\frac{1}{2}+(\frac{1}{2}+\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)^2}-\frac{a^2+b^2|+c^2}

{ab+bc+ac}$

 

$\frac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)^2}-\frac{1}{2}$

 

(vi cô si $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)^2}+\frac{1}{2}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$)

P/s: Ngại quá 

[angleofdarkness]

cái chỗ màu xanh đó

$\frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ac)^2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$

 

$=\frac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)^2}-\frac{1}{2}+(\frac{1}{2}+\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)^2}-\frac{a^2+b^2|+c^2}{ab+bc+ac}$

 

$\frac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)^2}-\frac{1}{2}$

 

(vi cô si $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)^2}+\frac{1}{2}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$)

P/s: Ngại quá 

 

Hóa ra mình có cách c/m đoạn đó khác bạn bạn tham khảo:

 

$\frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ac)^2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}=\frac{3(\sum a^2)^2}{(\sum ab)^2}-\frac{\sum a^2}{\sum ab} \\ =\frac{5(\sum a^2)^2}{2(\sum ab)^2}+\frac{(\sum a^2)^2}{2(\sum ab)^2}-\frac{\sum a^2}{\sum ab} \\ =\frac{5(\sum a^2)^2}{2(\sum ab)^2}+\frac{(\sum a^2)^2-2\sum a^2.\sum ab}{2(\sum ab)^2}$

 

Lúc này chỉ cần sử dụng BĐT: $\sum a^2 \geq \sum ab$ thì ta sẽ được:

 

$\frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ac)^2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac} \geq \frac{5(\sum a^2)^2}{2(\sum ab)^2}+\frac{(\sum a^2)^2-2\sum a^2.\sum a^2}{2\sum a^2}= \frac{5(\sum a^2)^2}{2(\sum ab)^2}-1.$

 

Nhân thêm $\frac{1}{2}$ như yêu cầu là đc đpcm.