Chủ đề này có 2 trả lời

[Hong Lien]

$Cho x, y, z  là  các  số  thực  dương  thay  đổi  thỏa  mãn  x + y + z = 2. Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của

 P = x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hong Lien: 04-03-2014 - 19:44

[hoctrocuanewton]

Cho x, y, z  là  các  số  thực  dương  thay  đổi  thỏa  mãn  x + y + z = 2. Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của

$ P = x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz.$

 

áp dụng bđt schur ta có:

$xyz\geqslant (x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)= (2-2z)(2-2y)(2-2z)= 8(1-x-y-z+xy+yz+xz-xyz)$

 

$\Rightarrow 9xyz\geqslant -8+8(xy+yz+xz)$

 

$\Rightarrow 2xyz\geqslant \frac{-16}{9}+\frac{16}{9}(xy+yz+xz)$

áp dụng điều trên ta  lại có:

 

$P\geqslant (x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz)-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\geqslant (x+y+z)^{2}-\frac{2}{27}(a+b+c)^{2}-\frac{16}{9}=\frac{52}{27}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 04-03-2014 - 23:38

[LakcOngtU]

$Cho x, y, z  là  các  số  thực  dương  thay  đổi  thỏa  mãn  x + y + z = 2. Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của

 P = x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz.$

Xin được góp vui bằng cách đi tìm vẻ đẹp tiềm ẩn của đạo hàm

Cách 2 : Không mất tính tổng quát,ta giả sử $ x \geq y \geq z $.Khi đó ta có : $ 0 < z \leq \frac{2}{3}$

Ta có : $ P = x^2 +y^2 +z^2 +2xyz $

                $=4 -2(xy +yz +zx) +2xyz $

                $= -2xy(1-z) -2z(x +y) +4 $

                $\geq -2 (\frac{x +y}{2})^2(1 -z) -2z(x +y) +4 $

                $= -\frac{(2 -z)^2}{2}(1-z) -2z(2-z) +4 $

                $=\frac{1}{2}z^3 -\frac{1}{2}z^2 +2 =f(z) $

Xét hàm số $ f(z) =\frac{1}{2}z^3 -\frac{1}{2}z^2 +2 , z \in (0;\frac{2}{3}] $

              Có :$f'(z) =\frac{3}{2}z^2 -z ; f'(z) =0 \Leftrightarrow z =\frac{2}{3}$

Lập bảng biến thiên của $f(z)$.

Từ bảng biến thiên ta có $P \geq f(z)$ $\geq f(\frac{2}{3})$ $= \frac{52}{27}$

Vậy :$MinP =\frac{52}{27}$.Dấu bằng xẩy ra 

                                            $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} z =\frac{2}{3}\\ x =y \\x +y +z =2 \end{matrix}\right.$

                                            $\Leftrightarrow$ $x =y =z = \frac{2}{3} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LakcOngtU: 07-03-2014 - 17:04