Chủ đề này có 2 trả lời

[khonggilakhongthe]

cho $a,b,c>0$. CMR: $\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}\geq 2\sum \sqrt{\frac{b}{a+c}}$

[Hoang Tung 126]

cho $a,b,c>0$. CMR: $\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}\geq 2\sum \sqrt{\frac{b}{a+c}}$

Theo BDT Bunhiacopxki và BDT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

Ta có:$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}\geq \sum \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2a}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}})=\sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})\geq \sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}.\frac{4}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\sum \frac{4\sqrt{a}}{\sqrt{2}(\sqrt{b}+\sqrt{c})}\geq \sum \frac{4\sqrt{a}}{\sqrt{2}.\sqrt{2(b+c)}}=2\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}$

[KietLW9]

cho $a,b,c>0$. CMR: $\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}\geq 2\sum \sqrt{\frac{b}{a+c}}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $(\sqrt{\frac{a+b}{c}}-\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{a+b}})+(\sqrt{\frac{b+c}{a}}-\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}})+(\sqrt{\frac{c+a}{b}}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{c+a}})\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}}\geqslant 0$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì $b+c-2a\leqslant c+a-2b\leqslant a+b-2c$ và $\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều $b+c-2a\leqslant c+a-2b\leqslant a+b-2c$ và $\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$, ta được: $3(\frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}})\geqslant (b+c-2c+c+a-2b+a+b-2c)(\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}+ \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}+ \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}})=0$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c$