Chủ đề này có 8 trả lời

[Yagami Raito]

nguồn:facebook của anh Võ Quốc Bá Cẩn

 

 

 

Trường Đại Học Khoa Tự Nhiên                                           Đề Kiểm Tra kiến Thức Lớp 9 năm 2014

Trường THPT Chuyên KHTN                                                          Môn: Toán (vòng 1- Đợt 2)

                                                                                     Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề  

 

 

Câu $I$ 1)Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.Chứng minh rằng: 

 

$$\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}=\dfrac{c}{1+c^2}+\dfrac{2ab}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}}$$

 

            2) Giải phuơng trình: 

 

$$\sqrt{\dfrac{3x+1}{4x}}+2\sqrt{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{3x^2+x}$$

 

 

Câu $II$: 1) Tìm cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn: 

 

$$x^3-xy-17=x-3y$$

 

               2) Với các số thực dương $a,b$ thỏa mãn: $a+2b\leq 3$  . Tìm giá trị nhỏ nhất của

 

$$P=\dfrac{1}{\sqrt{a+3}}+\dfrac{2}{\sqrt{b+3}}$$

 

 

Câu $III$: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$.$BE,CF$ lần lượt là 2 đường cao với $E,F$ tương ứng thuộc cạnh $AC,AB$Tiếo tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $T$.$TC,TE$ lần lượt cắt $EF$ tại $P;Q$.$M$ trung điểm $BC$

     

      a)  Chứng minh $M$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $TPQ$

 

      b) $AD$ là đường kính của $O$. $DM$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $D$. Chứng minh rằng các tứ giác $RQBM;RPCM;RGTP$ nội tiếp.

     

      c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $TPQ$ tiếp xúc với $(O)$ tại $R$

 

 

 

Câu $IV$ giải hệ phương trình : 

 

$$\left\{\begin{matrix} x^3=3x+y+4 & & & \\ y^3=3y+z-6 & & & \\ z^3=12z-x+18 & & & \end{matrix}\right.$$

 

--------------------------------------------------------------------Hết---------------------------------------------------------------------------------

 

 

[Yagami Raito]

 

nguồn:facebook của anh Võ Quốc Bá Cẩn

 

 

 

Trường Đại Học Khoa Tự Nhiên                                           Đề Kiểm Tra kiến Thức Lớp 9 năm 2014

Trường THPT Chuyên KHTN                                                          Môn: Toán (vòng 1- Đợt 2)

                                                                                     Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề  

 

 

Câu $III$: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$.$BE,CF$ lần lượt là 2 đường cao với $E,F$ tương ứng thuộc cạnh $AC,AB$Tiếo tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $T$.$TC,TE$ lần lượt cắt $EF$ tại $P;Q$.$M$ trung điểm $BC$

     

      a)  Chứng minh $M$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $TPQ$

 

      b) $AD$ là đường kính của $O$. $DM$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $D$. Chứng minh rằng các tứ giác $RQBM;RPCM;RGTP$ nội tiếp.

     

      c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $TPQ$ tiếp xúc với $(O)$ tại $R$

 

 

 

--------------------------------------------------------------------Hết---------------------------------------------------------------------------------

 

Câu 3 đã được giải bởi Jinbe  tại đây

 

 

[letankhang]

nguồn:facebook của anh Võ Quốc Bá Cẩn

 

 

 

Trường Đại Học Khoa Tự Nhiên                                           Đề Kiểm Tra kiến Thức Lớp 9 năm 2014

Trường THPT Chuyên KHTN                                                          Môn: Toán (vòng 1- Đợt 2)

                                                                                     Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề  

 

 

 

 

Câu $II$: 1) Tìm cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn: 

 

$$x^3-xy-17=x-3y$$

 

               2) Với các số thực dương $a,b$ thỏa mãn: $a+2b\leq 3$  . Tìm giá trị nhỏ nhất của

 

$$P=\dfrac{1}{\sqrt{a+3}}+\dfrac{2}{\sqrt{b+3}}$$

 

 

 

--------------------------------------------------------------------Hết---------------------------------------------------------------------------------

1) 
Ta có :

$PT\Rightarrow x^{3}-x-17=y(x-3)\Rightarrow (x^{3}-x-17)\vdots (x-3)\Rightarrow (x^{3}-27-x+3+7)\vdots (x-3)\Rightarrow 7\vdots (x-3)\Rightarrow ...$
2)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :

$\Rightarrow P=\frac{1}{\sqrt{a+3}}+\frac{1}{\sqrt{b+3}}+\frac{1}{\sqrt{b+3}}\geq \frac{9}{\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{b+3}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(a+2b+9)}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(3+9)}}=\frac{3}{2}$
Vậy : $\min P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=1$

[Trang Luong]

 

Câu 1 

2) 

2) Chia cả 2 vế $\sqrt{x}\Rightarrow \frac{\sqrt{3x+1}}{2x}+2=\frac{1}{x}+\sqrt{3x+1}$

Đặt $\frac{1}{x}=a,\sqrt{3x+1}=b$

$\Rightarrow ab+4=2(a+b)\Rightarrow 2a+2b-4-ab=0\Leftrightarrow \left ( 2-a \right )\left ( b-2 \right )=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 05-03-2014 - 17:31

[Trang Luong]

Câu 2b) Ta có : $\sqrt{a+3}\leq \frac{a+7}{4},\sqrt{b+3}\leq \frac{b+7}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a+3}}+\frac{2}{\sqrt{b+3}}\geq 4\left ( \frac{1}{a+7}+\frac{4}{2b+14} \right )\geq 4.\frac{9}{2b+a+21}\geq \frac{3}{2}$

Theo AM-GM

[Trang Luong]

 

 

 

Câu 3 đã được giải bởi Jinbe  tại đây

 

 

 

Xin góp ý ở phần a) và c) nhé

a) Ta dễ dàng chứng minh được : $QM$ là trung trực của $BF$ và $PM$ là trung trực của $EC$

Sd tứ giác $EFCB$ nội tiếp là được

c) Jinbe làm nhầm thì phải. Phần $\angle QPB=90^{\circ}-\angle PEC$ phải là $\angle QPM$ 

[Trang Luong]

    

   Câu $IV$ giải hệ phương trình : 

 

$$\left\{\begin{matrix} x^3=3x+y+4 & & & \\ y^3=3y+z-6 & & & \\ z^3=12z-x+18 & & & \end{matrix}\right.$$

 

Còn câu cuối. Mình xơi nốt nhé     

$\left\{\begin{matrix} x^3=3x+y+4 & & & \\ y^3=3y+z-6 & & & \\ z^3=12z-x+18 & & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3-3x-2=y+2\\ y^3-3y+2=z-4\\ z^3-12z-16=-x+2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-2 \right )\left ( x+1 \right )^2=y+2\\ \left ( y+2 \right )\left ( y-1 \right )^2=z-4\\ \left ( z-4 \right )\left ( z+2 \right )^2=2-x \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )\left ( x+1 \right )^2\left ( y+2 \right )\left ( y-1 \right )^2\left ( z-4 \right )\left ( z+2 \right )^2=\left (2-x \right )\left ( y+2 \right )\left ( z-4 \right )\Rightarrow \begin{bmatrix} x=2\\ y=-2\\ z=4 \end{bmatrix}$

[Trang Luong]

C2: Nếu $x>2\Rightarrow y>-2$

Với $y>-2\Rightarrow y^3-3y+6=z\Rightarrow z>4$

Với $z>4\Rightarrow z^3-12z-18=-x\Rightarrow -2< -x\Rightarrow 2>x$ vô lý

Nếu $x<2$ chứng minh tương tự như trên

$\Rightarrow x=2,y=-2,z=4$

[laiducthang98]

nguồn:facebook của anh Võ Quốc Bá Cẩn

 

 

 

Trường Đại Học Khoa Tự Nhiên                                           Đề Kiểm Tra kiến Thức Lớp 9 năm 2014

Trường THPT Chuyên KHTN                                                          Môn: Toán (vòng 1- Đợt 2)

                                                                                     Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề  

 

 

Câu $I$ 1)Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.Chứng minh rằng: 

 

$$\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}=\dfrac{c}{1+c^2}+\dfrac{2ab}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}}$$

Đẳng thức đã cho tương đương với : $\frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+c)(b+a)}=\frac{c}{(c+a)(c+b)}+\frac{2ab}{\sqrt{[(a+b)(b+c)(c+a)}]^2}$ (do $ab+bc+ca=1$)

<=> $ab+ac+ab+bc=ac+bc+2ab$ . Hai vế bằng nhau => đ.f.c.m