nguồn:facebook của anh Võ Quốc Bá Cẩn
Trường Đại Học Khoa Tự Nhiên Đề Kiểm Tra kiến Thức Lớp 9 năm 2014
Trường THPT Chuyên KHTN Môn: Toán (vòng 1- Đợt 2)
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu $I$ 1)Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}=\dfrac{c}{1+c^2}+\dfrac{2ab}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}}$$
2) Giải phuơng trình:
$$\sqrt{\dfrac{3x+1}{4x}}+2\sqrt{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{3x^2+x}$$
Câu $II$: 1) Tìm cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn:
$$x^3-xy-17=x-3y$$
2) Với các số thực dương $a,b$ thỏa mãn: $a+2b\leq 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$P=\dfrac{1}{\sqrt{a+3}}+\dfrac{2}{\sqrt{b+3}}$$
Câu $III$: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$.$BE,CF$ lần lượt là 2 đường cao với $E,F$ tương ứng thuộc cạnh $AC,AB$Tiếo tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $T$.$TC,TE$ lần lượt cắt $EF$ tại $P;Q$.$M$ trung điểm $BC$
a) Chứng minh $M$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $TPQ$
b) $AD$ là đường kính của $O$. $DM$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $D$. Chứng minh rằng các tứ giác $RQBM;RPCM;RGTP$ nội tiếp.
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $TPQ$ tiếp xúc với $(O)$ tại $R$
Câu $IV$ giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{matrix} x^3=3x+y+4 & & & \\ y^3=3y+z-6 & & & \\ z^3=12z-x+18 & & & \end{matrix}\right.$$
--------------------------------------------------------------------Hết---------------------------------------------------------------------------------