Cho hai số thực thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\begin{vmatrix} x-2 \end{vmatrix}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\begin{vmatrix} x-2 \end{vmatrix}$
Bắt đầu bởi thienminhdv, 08-03-2014 - 10:47
#2
Đã gửi 08-03-2014 - 13:09
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho hai số thực thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\begin{vmatrix} x-2 \end{vmatrix}$
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski ta có $P\geqslant \sqrt{4x^2+4}+\left | x-2 \right |=2\sqrt{x^2+1}+\left | x-2 \right |=f(x)$
TH1: $x\geqslant 2\Rightarrow f(x)=2\sqrt{x^2+1}+x-2$
$\Rightarrow f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}+1>0$
$\Rightarrow f(x)\geqslant f(2)=2\sqrt{5}$
TH2: $x\leqslant 2\Rightarrow f(x)=2\sqrt{x^2+1}+2-x$
$\Rightarrow f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow f(x)\geqslant f(\frac{1}{\sqrt{3}})=2+\sqrt{3}$
Vậy $P_{min}=2+\sqrt{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{3}},y=0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
