Chủ đề này có 4 trả lời

[HoangHungChelski]

Thời gian: 150 phút

 

Câu 1:

a, Cho $A=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}$ 
     Rút gọn: $B=1-\sqrt{2}\sqrt{A+2x+\frac{1}{2}}$
b. Cho $x=\frac{23}{\sqrt{31+12\sqrt{3}}}$. Tính $P=\frac{x^4+5x^3-20x^2-27x+30}{x^2+8x-21}$

Câu 2: 
a. Giải phương trình: $x^2-3x+1=\frac{7}{3}\sqrt{x^4+x^2+1}$
b. Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-x^2-2xy=y^3+y^2+100$

Câu 3: 
a, Cho $a,b,c$ nguyên. CMR nếu $a^3+b^3+c^3\vdots 9$ thì $abc\vdots 3$
b. Tìm x là số thực để $x^2-1+\sqrt{143}$ và $\frac{1}{x^2-1}-\sqrt{143}$ đều là các số nguyên

Câu 4: 
3 điểm A, B, C cố định nằm trên đường thẳng d cố định (B giữa A và C). Vẽ (O) đi qua B, C. Kẻ AM, AN là các tiếp tuyến với (O) tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO giao với MN tại H.
  a. CMR: $AH.AO=AB=AC$
  b. Kẻ dây MK của (O) song song với BC. CMR K, I, N thẳng hàng
  c. CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác OHI luôn đi qua 1 điểm cố định khác I.

Câu 5: 
Cho $a,b,c> 0$ và $ab+bc+ca=abc$. Tìm max 
$A=\sum \frac{a}{bc(a+1)}$

 

 

[buitudong1998]

 

 

Câu 2: 
a. Giải phương trình: $x^2-3x+1=\frac{7}{3}\sqrt{x^4+x^2+1}$
b. Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-x^2-2xy=y^3+y^2+100$

 

 

Đưa PT về dạng:$x^{2}-3x+1=\frac{7}{3}\sqrt{(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)}$

Đặt $\sqrt{x^{2}+x+1}=a,\sqrt{x^{2}-x+1}=b\rightarrow -a^{2}+2b^{2}=\frac{7}{3}ab\rightarrow (2b-3a)(2a+3b)=0$ 

[buitudong1998]

 

 

Câu 5: 
Cho $a,b,c> 0$ và $ab+bc+ca=abc$. Tìm max 
$A=\sum \frac{a}{bc(a+1)}$

 

 

Từ GT suy ra: $\sum \frac{a}{bc(a+1)}=\sum \frac{a}{ab+2bc+ca}=\sum \frac{a}{(ab+bc)+(bc+ca)}\leqslant \frac{1}{4}(\frac{a+c}{ab+bc}+\frac{b+c}{ab+ac}+\frac{b+a}{bc+ca})=\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{4}$

[lovemathforever99]

 

 

Câu 4: 
3 điểm A, B, C cố định nằm trên đường thẳng d cố định (B giữa A và C). Vẽ (O) đi qua B, C. Kẻ AM, AN là các tiếp tuyến với (O) tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO giao với MN tại H.
  a. CMR: $AH.AO=AB=AC$
  b. Kẻ dây MK của (O) song song với BC. CMR K, I, N thẳng hàng
  c. CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác OHI luôn đi qua 1 điểm cố định khác I.
 

 

 

 

 

 

b. $\widehat{KIC}=\widehat{MIB}=\widehat{MOA}$(do $AMIO$ nt)

$\widehat{AIN}=\widehat{AON}=\widehat{AOI}$

$\Rightarrow \widehat{KIC}=\widehat{AIN}$$\Rightarrow K,I,N$ thẳng hàng.

c.Gọi $F$ là giao điểm $MN$ và $AC$.

$\Delta AFH$ đồng dạng $\Delta AOI$

$\Rightarrow AF.AI=AH.AO=AB.AC\Rightarrow AF=\frac{AB.AC}{AI}$

Suy ra $F$ cố định.

Mà $FIOH$ nt $\Rightarrow$ đt ngoại tiếp tg $OHI$ qua điểm $F$ cố định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 08-03-2014 - 19:09

[lovemathforever99]

 

3b. Tìm x là số thực để $x^2-1+\sqrt{143}$ và $\frac{1}{x^2-1}-\sqrt{143}$ đều là các số nguyên
 

1 cách giải trong THTT, các bạn tham khảo 

Đặt $x^2-1+\sqrt{143}=a$ , $\frac{1}{x^2-1}-\sqrt{143}=b$

$\Rightarrow x^2-1=a-\sqrt{143},\frac{1}{x^2-1}=b+\sqrt{143}$

$\Rightarrow (a-\sqrt{143})(b+\sqrt{143})=1$

$\Rightarrow ab+\sqrt{143}(a-b)=144$

Nếu $a\neq b$

$\Rightarrow \sqrt{143}=\frac{144-ab}{a-b}$, vô lí vì $\sqrt{143}$ là số vô tỉ, $\frac{144-ab}{a-b}$ là số hữu tỉ.

Vậy $a=b$ thay vào tìm x

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 09-03-2014 - 09:45