Chủ đề này có 2 trả lời

[Hoang Tung 126]

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR :

 $\sum \frac{a^3}{b^2-bc+c^2}\geq \frac{3(\sum ab)}{\sum a}$

[Hoang Tung 126]

Trước hết ta CM :$\sum \frac{a^3}{b^2-bc+c^2}\geq \sum a$

Theo Bunhiacopxki  có: $\sum \frac{a^3}{b^2-bc+c^2}=\sum \frac{a^4}{ab^2-abc+ac^2}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum ab(a+b)-3abc}\geq \sum a< = > (\sum a^2)^2+3abc(\sum a)\geq (\sum ab(a+b))(\sum a)< = > \sum a^4+abc\sum a\geq \sum ab(a^2+b^2)< = > \sum a^2(a-b)(a-c)\geq 0$(Luôn đúng theo Schur bậc 4)

Do đó ta cấn CM :$\sum a\geq \frac{3\sum ab}{\sum a}< = > (\sum a)^2\geq 3\sum ab< = > \frac{1}{2}\sum (a-b)^2\geq 0$(Luôn đúng) 

Vậy có ĐPCM

[banhgaongonngon]

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR :

 $\sum \frac{a^3}{b^2-bc+c^2}\geq \frac{3(\sum ab)}{\sum a}$

 

Có một cách chứng minh khác như sau:

 

Dễ thấy

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}=\sum \frac{a^{3}}{b^{3}+c^{3}}\left ( b+c \right )$

nên bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

$\sum \frac{a^{3}}{b^{3}+c^{3}}\left ( b+c \right )\geq 3\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$

 

Nhưng thực tế bất đẳng thức trên chỉ là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức

$\sum \frac{a}{b+c}\left ( y+z \right )\geq \frac{3\sum xy}{\sum x}$

 

Chứng minh bất đẳng thức trên đã có ở đây

http://diendantoanho...bzxcafraccxyab/