Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangvtvpvn]

Tìm nghiệm nguyên của PT: $\frac{x^{7}-1}{x-1}=y^{5}-1$

[WhjteShadow]

Tìm nghiệm nguyên của PT: $\frac{x^{7}-1}{x-1}=y^{5}-1$

Bổ đề : Với $a \in \mathbb{Z} > 1$ và $p$ nguyên tố. Khi đó vời mọi ước nguyên tố $q$ của $\dfrac{a^p-1}{a-1}$ thì $p=q$ hoặc $q \equiv 1 \pmod{p}$

C/m: Giả sử $q \mid \dfrac{a^p-1}{a-1}$ với $q$ nguyên tố. Gọi $h = ord_q(a)$

$\Rightarrow h \mid p \Rightarrow \begin{bmatrix} h=1 \\ h=p \end{bmatrix}$

Lại có theo định lý $Fermat$, $a^{q-1} \equiv 1 \pmod{q}$ nên ta có $h \mid q-1$

$\bullet$ TH1: $h=1 \Rightarrow a \equiv 1 \pmod{q}$

$\Rightarrow q \mid p \Rightarrow q = p$

$\bullet$ TH2: $h=p \Rightarrow q-1 \vdots p$.

----------

Vậy gọi $p$ là 1 ước nguyên tố bất kì của $\frac{x^7-1}{x-1}$ thì $p\equiv 0;1 \pmod{7}$, vậy mọi ước của $y^5-1$ cũng chỉ có thể $\equiv 0;1\pmod{7}$. 

Ta có $y^5-1=(y-1)(y^4+y^3+y^2+y+1)$. Chỉ có 2 trường hợp sau :

$\bullet$ $y-1\equiv 0\pmod{7}$ , lúc đó $y^4+y^3+y^2+y+1\equiv 5\pmod{7}$ vô lí do khác $0$ và $1$.

$\bullet$ $y-1\equiv 1\pmod{7}$ , lúc đó $y^4+y^3+y^2+y+1\equiv 3\pmod{7}$ vô lí do khác $0$ và $1$.

Vậy phương trình vô nghiệm nguyên $\square$