Cho x, y, z dương và x+y+z=3. CMR: $\sum \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\geqslant 1$
#1
Đã gửi 14-03-2014 - 11:48
hoangvtvpvn
-
- Thành viên
-
- 103 Bài viết
Trung sĩ
- buiminhhieu và hoangmanhquan thích
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng
#2
Đã gửi 14-03-2014 - 12:14
lahantaithe99
-
- Thành viên
-
- 883 Bài viết
Trung úy
Cho x, y, z dương và x+y+z=3. CMR: $\sum \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\geqslant 1$
Đề bài sai rồi phải là $\leq 1$ ạnh ạ.
Ta có $\sum \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\sum \frac{x}{x+\sqrt{x(x+y+z)+yz}}=\sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}$
Áp dụng bđt Bunhiacopxki $(x+y)(x+z)\geq (\sqrt{xy}+\sqrt{xz})^2\Rightarrow \sqrt{(x+y)(x+z)}\geq \sqrt{xy}+\sqrt{xz}$
$\Rightarrow VT=\sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \sum \frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}$
$=\sum \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}+\sqrt{y}}=1$
- thanhducmath và hoangmanhquan thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
