Cho a,b $\geq$ 0, thỏa mãn $\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b} = 1$
CMR: $ab(a+b)^2$ $\leq$ $\dfrac{1}{64}$
Dấu "=" xảy ra khi nào ???
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Con meo con: 16-03-2014 - 14:40
a,b $\geq$ 0, t/m $\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b} = 1$ CMR: $ab(a+b)^2$ $\leq$ $\dfrac{1}{64}$ Dấu "=" xảy ra khi nào ?
Bắt đầu bởi Con meo con, 16-03-2014 - 14:40
#2
Đã gửi 16-03-2014 - 14:56
lahantaithe99
-
- Thành viên
-
- 883 Bài viết
Trung úy
Cho a,b $\geq$ 0, thỏa mãn $\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b} = 1$CMR: $ab(a+b)^2$ $\leq$ $\dfrac{1}{64}$Dấu "=" xảy ra khi nào ???
Đặt $\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y\Rightarrow x+y=1$
BDT cần cm tương đương
$x^2y^2(x^2+y^2)^2\leqslant \frac{1}{64}\Leftrightarrow xy(x^2+y^2)\leqslant \frac{1}{8}$
$\Leftrightarrow 2xy(x^2+y^2)\leqslant \frac{1}{4}$
Áp dụng bdt Cauchy ta có
$2xy(x^2+y^2)\leqslant \frac{(2xy+x^2+y^2)^2}{4}=\frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$
Vậy bdt được chứng minh
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0.5\Leftrightarrow a=b=0.25$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 16-03-2014 - 14:56
- Con meo con yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
