Chủ đề này có 3 trả lời

[quocdu89]

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\geq  \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

[25 minutes]

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\geq  \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có

                     $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leqslant 3\sqrt{\frac{a+b+b}{3}}=3\sqrt{\frac{a+2b}{3}}$

Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$

[lahantaithe99]

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\geq  \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Cách khác

BĐT cần cm tương đương

 

$\sum \sqrt{a+2b}\geqslant \sum \sqrt{3a}\Leftrightarrow (\sum \sqrt{a+2b})^2\geqslant (\sum \sqrt{3a})^2$

 

$\Leftrightarrow \sum \sqrt{(a+2b)(b+2c)}\geqslant \sum 3\sqrt{ab}$ (khai triển rồi rút gọn)

 

Áp dụng bđt Bunhiacopxki

 

$\sqrt{(a+2b)(b+2c)}=\sqrt{(a+b+b)(b+c+c)}\geqslant \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{bc}$

 

Thiết lập tương tự vs $2$ số còn lại ta đc đpcm

[Tran Nho Duc]

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có

                     $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leqslant 3\sqrt{\frac{a+b+b}{3}}=3\sqrt{\frac{a+2b}{3}}$

Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$

 

 

Chỗ đó hình như là b chứ , đúng không ?