Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh:
$\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh:
$\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Sống trong cuộc sống cần có một tấm lòng!
Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh:
$\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leqslant 3\sqrt{\frac{a+b+b}{3}}=3\sqrt{\frac{a+2b}{3}}$
Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$
Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh:
$\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Cách khác
BĐT cần cm tương đương
$\sum \sqrt{a+2b}\geqslant \sum \sqrt{3a}\Leftrightarrow (\sum \sqrt{a+2b})^2\geqslant (\sum \sqrt{3a})^2$
$\Leftrightarrow \sum \sqrt{(a+2b)(b+2c)}\geqslant \sum 3\sqrt{ab}$ (khai triển rồi rút gọn)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki
$\sqrt{(a+2b)(b+2c)}=\sqrt{(a+b+b)(b+c+c)}\geqslant \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{bc}$
Thiết lập tương tự vs $2$ số còn lại ta đc đpcm
Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leqslant 3\sqrt{\frac{a+b+b}{3}}=3\sqrt{\frac{a+2b}{3}}$
Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$
Chỗ đó hình như là b chứ , đúng không ?
" Even if there was no Gravity on Earth, I'd still fall for you. "
Nunmul
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh