Chủ đề này có 4 trả lời

[DTLC]

1) cho x,y dương tìm min $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

2) cho a,b,c dương sao cho a+b+c=3. tìm min $B=\sum \frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+12ab}}$

[Hoang Tung 126]

1) cho x,y dương tìm min $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

2) cho a,b,c dương sao cho a+b+c=3. tìm min $B=\sum \frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+12ab}}$

Bài 1:Ta có :

 $Q=\frac{1}{\sqrt{1+8(\frac{y}{x})^3}}+\frac{2}{\sqrt{1+(1+\frac{x}{y})^3}}$

Đặt $\frac{x}{y}=t> 0= > Q=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{8}{t^3}}}+\frac{2}{\sqrt{1+(t+1)^3}}=\frac{1}{\sqrt{(1+\frac{2}{t})(\frac{4}{t^2}-\frac{2}{t}+1)}}+\frac{2}{\sqrt{(t+2)(t^2+t+1)}}\geq \frac{1}{\frac{1+\frac{2}{t}+\frac{4}{t^2}-\frac{2}{t}+1}{2}}+\frac{2}{\frac{t^2+t+1+t+2}{2}}=\frac{t^2}{t^2+2}+\frac{4}{t^2+2t+3}$

Ta sẽ CM :$Q\geq 1< = > \frac{t^2}{t^2+2}+\frac{4}{t^2+2t+3}\geq 1< = > t^4+2t^3+3t^2+4t^2+8\geq t^4+2t^3+5t^2+4t+6< = > t^2-2t+1\geq 0< = > (t-1)^2\geq 0$(Luôn đúng)

 Vậy Q Min= 1 khi t=1 hay x=y

[Hoang Tung 126]

1) cho x,y dương tìm min $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

2) cho a,b,c dương sao cho a+b+c=3. tìm min $B=\sum \frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+12ab}}$

Bài 2:Ta có:$B=\sum \frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+12ab}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{(2a+3b)^2-(a-b)^2}}\geq \sum \frac{a^2}{\sqrt{(2a+3b)^2}}=\sum \frac{a^2}{2a+3b}\geq \frac{(\sum a)^2}{5\sum a}=\frac{\sum a}{5}=\frac{3}{5}$

[Vu Thuy Linh]

1) cho x,y dương tìm min $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

 

Q = $\frac{x^{2}}{\sqrt{(x^{2}+2xy)(x^{2}-2xy+4y^{2})}}+\frac{2y^{2}}{\sqrt{(2y^{2}+xy)(y^{2}+xy+x^{2})}}\geq \frac{2x^{2}}{2x^{2}+4y^{2}}+\frac{4y^{2}}{2x^{2}+4y^{2}}=1$

Vậy Min Q = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 19-03-2014 - 20:11

[KietLW9]

1) cho x,y dương tìm min $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

Ta có: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}-\frac{x^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4x^3y^2(x-y)^2}{(x^3+8y^3)(x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\frac{x^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geqslant \frac{x^2}{x^2+2y^2}$ (1)

          $\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}-\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4y^3(x-y)^2(x^2+xy+2y^2)}{[y^3+(x+y)^3](x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{2y^2}{x^2+2y^2}$ (2)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{x^2+2y^2}{x^2+2y^2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y>0$